Kann der Definitionsbereich einer ungeraden Wurzel auch negativ sein?
Ich habe eine Aufgabe bei der ich den Definitionsbereich der Gleichung :
y=(x-2)^1/3
bestimmen muss.
In der Lösung steht D= x>2
Meiner Meinung nach kann x auch negativ sein (weil es eine ungerade Wurzel ist) oder ist der Definitionsbereich einer Wurzel IMMER positv (auch bei ungeraden)?
6 Antworten
http://www.mathematik.net/wurzeln/w01s30.htm
passt zu der Frage.
Diese Diskussion kommt immer wieder auf.
Für beide Ansichten gibt es Vertreter, und beide lassen sich begründen.
Aber: letztlich ist es Definitionssache. Also eine willkürliche Festlegung.
Was bei dir ungewöhnlich ist: trotz des positiven Exponenten ist Basis=0 ausgeschlossen (> statt >=). Das ist mir neu. Wenn auch dies sich begründen lässt.
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Meine persönliche Auffassung hierzu ist: man sollte einen Definitionsbereich nicht willkürlich verkleinern - bei ungeraden Exponenten ist eine Potenzfunktion im Reellen bijektiv und ihre Umkehrfunktion - die Wurzelfunktion - für alle reellen Zahlen eindeutig definiert / definierbar.
Eine Ausnahme würde ich bei Funktionenscharen sehen, wo der Exponent veränderlich ist und damit die Fallunterscheidung ungerader / nicht ungerader Exponent mehr statt weniger Mühe macht. ("nicht ungerade" statt "gerade", weil jene Formulierung auch nicht-ganze Exponenten behandelt)
In diesem speziellen Fall hast du Recht, denn y = (x-2)^(1/3) ist die Umkehrfunktion von x = 2 + y³. Diese Funktion ist bijektiv von R -> R, also existiert auch die bijektive Umkehrfunktion , ebenfalls von R->R.
Ich schrieb extra, "in diesem speziellen Fall". Natürlich gilt diese Aussage nicht für beliebige (auch irrationale) Exponenten, aber hoch (1/3) ist in diesem Fall einfach die normale dritte Wurzel, und dies ist die Umkehrfunktion von "hoch 3". Für x=-10 hast du etwa y = (x-2)^(1/3) = (-8)^(1/3) = -2 (wohlgemerkt: In diesem Fall einfach die dritte Wurzel), und hier gilt umgekehrt auch sehr wohl -10 = 2 + (-2)^3.
Wenn du dich natürlich auf den Standpunkt stellst, y = (x-2)^(1/3) sei über die allgemeine Potenz zu definieren mit y = e^(1/3 * ln(x-2)), dann hast du natürlich recht mit deiner Einschränkung für x <2, aber dies ist eine zu starke Einschränkung in diesem Fall wegen der dritten Wurzel und mit Sicherheit hier auch nicht so gemeint. Aber was soll man sich streiten: Der Fragesteller ist jetzt umfassend informiert und kann seine eigenen Schlüsse ziehen.
Auch wenn es auf den ersten Blick Sinn macht zu sagen (-8)^(1/3) =-2 , denn -2*-2*-2=-8 muss man sich anschauen, wie die Wurzel in der Mathematik definiert ist.
Per Definition (in den reelen Zahlen) ist die Zahl unter der Wurzel eine nicht-negative reelle Zahl. Für negative Zahlen ist die n-te Wurzel einfach nicht definiert.
Man kann auf die Idee kommen die Wurzel für ungerade Wurzelexponenten zu definieren.
Dies würde aber im Beispiel -2 ein Potenzgesetz (x^a)^b)=x^(ab) verletzen denn:
-2= (-8)^(1/3)=(-8)^(2/6)=((-8)^2)(1/6)=(64)^(1/6)=2
Man könnte es natürlich zwanghaft so definieren, dass für diese Zahlen das Potenzgesetz nicht gilt, aber das ist doch etwas umständlich. :)
Nach DIN Norm sind Wurzeln von negativen Zahlen nicht definiert.
Gleichungen wie -8 = x^3 haben natürlich trotzdem eine Lösung
(Im Komplexen Raum sogar 3)
Die Funktion y=(x-2)^(1/3) ist auf ganz R aber injektiv.
Für x>=2 gibt es keinen Wert (für reelle Zahlen), also nicht surjektiv. Daher nicht bijektiv!
Die Umkehrfunktion ist in diesem Bereich gar nicht definiert. Du kannst nicht einfach die Umkehrfunktion wie eine normale Abb betrachten, wenn die ursprüngliche Abb nicht bijektiv ist.