Wurzelziehen aus negativem Radikand?
Wieso ist es möglich aus einem negativen Radikand die Wurzel zu ziehen sobald der Wurzelexponent ungerade ist?
2 Antworten
Wenn man einen ungeraden Exponenten n bei einer Potenz aⁿ hat, ist das Vorzeichen von aⁿ gleich dem Vorzeichen von a.
Wenn a gleich Null ist, ist aⁿ gleich Null.
Wenn a positiv ist, aⁿ auch positiv (egal ob n gerade oder ungerade ist).
Wenn a negativ ist, ist aⁿ nur dann positiv, wenn n gerade ist, und nur dann auch negativ, wenn n ungerade ist. Warum?
Nehmen wir an a ist negativ, also a<0. Dann können wir schreiben: a = (–1)•|a|.
Wenn wir nun die n-te Potenz von a nehmen, erhalten wir aⁿ = (–1)ⁿ•|a|ⁿ.
|a|ⁿ ist immer positiv, da |a| immer positiv ist. Nur bei (–1)ⁿ ändert sich das Vorzeichen, wenn n gerade bzw. ungerade ist.
Ist nämlich n gerade, können wir n als ein Vielfaches von Zwei darstellen, also
n = 2•i (i ist irgendeine eine natürliche Zahl)
und erhalten so
(–1)ⁿ = (–1)²ⁱ = ((–1)²)ⁱ = (1)ⁱ = 1,
denn (–1)² = (–1)(–1) = 1.
Wenn n also gerade ist, ist aⁿ immer positiv.
Nehmen wir nun an, dass n ungerade ist, so können wir n schreiben als 2•i+1. Das in aⁿ = (–1)ⁿ•|a|ⁿ eingesetzt ergibt (–1)²ⁱ⁺¹•|a|²ⁱ⁺¹.
Da |a|²ⁱ⁺¹ sowieso positiv ist, hängt das Vorzeichen nur von (–1)²ⁱ⁺¹ ab. Das können wir aber umschreiben zu
(–1)²ⁱ⁺¹ = (–1)²ⁱ•(–1) = 1•(–1) = –1.
Somit ist aⁿ immer negativ, wenn n ungerade und a negativ ist.
Wenn wir nun die n-te Wurzel aus einer negativen Potenz a ziehen, wobei n ungerade ist, erhalten wir also
aⁿ = (–1)•|a|ⁿ = (–1)ⁿ•|a|ⁿ => (–1)•|a| = a,
da (–1) = (–1)ⁿ für alle ungeraden n gilt.
Verstanden?
Hallo,
weil sich bei der Multiplikation Paare von negativen Faktoren immer zu einem positiven Produkt verbinden.
Bei ungeraden Exponenten wird eine Zahl aber ungerade oft mit sich selbst multipliziert, so daß bei einer negativen Zahl auch ein negatives Ergebnis herauskommt.
Multiplizierst Du aber eine Zahl eine gerade Zahl oft mit sich selbst, bekommst Du immer ein positives Ergebnis heraus, jedenfalls solange Du mit reellen Zahlen rechnest. Bei komplexen Zahlen kannst Du problemlos auch Wurzeln geraden Grades aus negativen Zahlen ziehen.
Herzliche Grüße,
Willy