Wieso kann man bei manchen Wurzelexponenten die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen?
Hallo zusammen. Ich stehe gerade mal wieder voll auf dem Schlauch und begreife die Welt nicht mehr.
Ich habe mir mal folgende Funktionen angeschaut:
f(x)=x^2.3
g(x)=x^2.2
Hier habe ich mich dann zuerst mal gewundert, weshalb es bei f(x) keine Werte für x<0 hat. Dann habe ich mir das ganze mal anders aufgeschrieben: f(x)= (1/2.3)√x wobei die Klammer hier den Wurzelexponent darstellen soll. Nun gab es für mich schon etwas mehr Sinn, denn wie mir in der Schule immer so schön beigebracht wurde kann man aus negative Zahlen keine Wurzeln ziehen. Oder eben doch? Ich habe g(x) nämlich auch einfach mal umgeschrieben, so, dass das x wieder der Radikand war. Aber wieso zur Hölle darf ich hier aus negativen Werten die Wurzel ziehen? Oder anders formuliert, bei welchen Wurzelexponenten darf der Radikand <0 sein?
Ich verzweifel gerade innerlich und wäre deshalb echt glücklich, wenn mir jemand weiterhelfen kann!
6 Antworten
Wird etwas ausführlich. Hier eine Quelle:
http://www.rub.de/mathe-wiwi/skripte/wurzel.pdf
und Abschnitt aus
Man kann aus allen Zahlen die Wurzel ziehen.
Aber nicht aus allen Zahlen ist das Ergebnis ein reeller Zahlenwert.
Manchmal ist das Ergebnis ein Ergebnis in den komplexen Zahlen.
Das Problem daran ist, dass die meisten normalen Schulen das Thema komplexe Zahlen meiden wie die Pest.
Das liegt zum einen daran, weil viele Taschenrechner nicht mit komplexen Zahlen umgehen können.
Und zum anderen daran, weil die Formel, um eine komplexe Zahl mit einer beliebigen anderen komplexen Zahl zu potenzieren, für Schulverhältnisse zu kompliziert ist.
Die reellen Zahlen sind in der Menge der komplexen Zahlen enthalten.
Ganz primitiv ausgedrückt -->
Wenn dein Taschenrechner einen Fehler anzeigt, dann ist das Ergebnis ein Ergebnis in den komplexen Zahlen, und für die Schule irrelevant.
Beispiel -->
f(x) = x ^ (pi + 1 / 7)
Gib das mal in den Taschenrechner ein, mit x = -2
f(-2) = (-2) ^ (pi + 1 / 7) = ?
Du wirst feststellen, dass dein Taschenrechner einen Fehler anzeigt, es sei denn du hast einen teuren Taschenrechner, der sowas auch kann.
Das liegt daran, weil ein normaler Billig-Taschenrechner nicht mit komplexen Zahlen rechnen kann.
Damit meine ich, dass deine Funktionen -->
f(x) = x ^ 2.3
g(x) = x ^ 2.2
nicht für x < 0 in den reellen Zahlen definiert sind.
1/0 ist nicht in den komplexen Zahlen und der Taschenrechner zeigt einen Fehler an.
Deswegen stimmt eine Aussage nicht dass bei einem Fehler im Taschenrechner man davon ausgehen muss, das das Ergebnis in den komplexen Zahlen liegt.
Die Aussage bezieht sich auf die Beispiele dieser Frage.
Ich habe nie behauptet, dass jeder Fehler, den ein Taschenrechner jemals zeigt, immer darauf zurückzuführen ist, dass das Ergebnis in den komplexen Zahlen liegt.
Du hast meine Aussage aus dem Zusammenhang herausgerissen.
Du hättest das genauer formulieren können: komplex => Fehler aber nicht umgekehrt.
Sagt dir die Menge der komplexen Zahlen etwas?
nicht wirklich, aber war das nicht u.a die Sache mit √-1 = i?
Schreib mal um mit gebrochenen Exponenten:
f(x) = 10 te Wurzel aus x^23. Gerade Wurzel, keine negativeZahl möglich.
g(x)= 10 te Wurzel aus x^22. Eigentlich wie bei f(x)! Jetzt passiert's! Wenn man 22/10 kürzt, wird es 5 te Wurzel aus x^11, die ist auch für negative Zahlen definiert!
Wenn wir die komplexen Zahlen ignorieren: bei ungeraden Exponenten geht dies immer, da (-|x|)^3 immer negativ ist. Heisst: wenn eine negative Zahl hoch y eine negative Zahl (z) ergibt, muss die y-te Wurzel aus z reell sein. Bei Exponenten, die keine natürlichen Zahlen sind, wird es um einiges komplizierter.
Ok, das hat mir schonmal weitergeholfen, aber dabei stellt sich mit immernoch die Frage, ob eine Funktion an den Stellen (z.B. die Funktion die ich genannt habe) auch definiert ist?