Lösungen von x^4-1=0?

Wie erhalte ich denn alle vier Lösungen von der folgenden Gleichung: $x^4-1=0$ $x^4=1$ Und nun? Die zweite Wurzel würde ja +/- 1 hergeben. Wie ist das bei der vierten Wurzel?

Answer 1

[Halbrecht]

nicht mit den 4ten Wurzel arbeiten , sondern mit u = x²

.

dann steht da

u² - 1 = 0 

u² = +1

u1 = +w(1) = +1

u2 = -w(1) = -1

.

jetzt u = x² zurück

x² = +1 gibt die Lösungen +1 und -1 , aber

x² = -1 gibt keine Lösungen mehr. Da muss man auf die komplexen Zahlen mit i² = -1 zurückgreifen

Wenn ihr das Gebiet noch nicht kennt , bleibt es bei

L = {+1 , -1}

Answer 2

[ChrisGE1267]

Faktorisiere nach der 3. Binomischen Formel:

x^4 - 1 = (x^2 - 1) (x^2 + 1) = (x - 1) (x + 1) (x - i) (x + i) = 0

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dr. rer. nat. Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Comments

[DerRoll]

Wo du recht hast hast du recht. Ich habe einfach Arndt Bruemmer vertraut, weil das bisher immer gepasst hat :-). Und der gibt 1 und -1 als doppelte Nullstellen an. Dabei sagt er selbst im Lösungsweg dass -i und i Nullstellen sind :-)

Answer 3

[DerRoll]

Wie dir die dritte binomische Formel verrät sind -1 und 1 jeweils doppelte Nullstellen der Gleichung.

Nachtrag: Beachte das man im komplexen leicht Fehler macht weil man etwas vergisst und vielleicht einem Rechner aus dem Internet vertraut. Die Lösung ist unvollständig.

Comments

[DerRoll]

Danke mir nicht zu früh, meine Lösung ist falsch, siehe die Antwort von @Chris

[JensR77]

+1 und -1 sind keine doppelte Nullstellen! (und ich weiß auch nicht, was die dritte binomische Formel damit zu tun hätte)
Wenn das so wäre, könnte man die Funktion damit so konstruieren:
f(x) = (x-1)² ⋅ (x+1)² = x⁴ - 2x² + 1

Das ist aber offensichtlich nicht die Funktion, um die es hier geht.

[DerRoll]

@JensR77

Hast du meinen Nachtrag gelesen? War der irgendwie missverständlich?

[JensR77]

@DerRoll

Ich zeige auf, wieso die beiden Werte keine Nullstellen sind. Das fehlt bei deinem Nachtrag.
Es ist auch nicht so, dass das, was du geschrieben hast, unvollständig ist, sondern einige der Aussagen sind falsch.

Mir geht es aber weniger darum, dich bloßzustellen oder so. Wir machen alle Fehler und ich bin da absolut keine Ausnahme.
Mir geht es vielmehr darum, dem Fragesteller (und anderen Interessierten) aufzuzeigen, wie man sehr schnell und sehr einfach sehen kann, wieso die Aussage über die doppelte Nullstelle unzutreffend ist.

Answer 4

[KunXz]

Korrigierte Version:

Sei a Element der reellen Zahlen, dann hat jede Gleichung der Form

$x^n\ =\ a$

die Lösungen:

Für a > 0

$x_k\ =\ \sqrt[n]{a}\ \cdot\ e^{i\cdot\frac{2\pi k}{n}}$

(für k = 0, 1, ... , n-1)

Für a < 0

$x_k\ =\ \sqrt[n]{\left|a\right|}\ \cdot\ e^{i\cdot\frac{\pi}{n}}\cdot e^{i\cdot\frac{2\pi k}{n}}$

(für k = 0, 1, ... , n-1)

denn für a < 0 gilt

$a\ =\ \left|a\right|\cdot e^{i\pi}$

Answer 5

[J0T4T4]

Alternativ:

x⁴ = 1

s := x²

x⁴ = (x²)² = s² = 1 → s = ±1

x = ±√s = 1, -1, i, -i

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – π = e = 3