Dein Ansatz ist richtig, jedoch musst du noch nachweisen dass der Schnitt der beiden Eigenräume nur aus dem Nullelement bzw. der Null besteht. Das macht die direkte Summe aus.

Mein Ansatz:

Die beiden Eigenräume beschreiben die geraden und ungeraden Funktionen (respektive). Eine Funktion die gerade und ungerade ist, ist nur die Nullfunktion (d.h. konstant 0). Jede Funktion lässt sich zudem in einen geraden und einen ungeraden Anteil zerlegen durch:



damit würde ich jetzt (d) verwenden um zu zeigen dass auch der gesamte Raum dadurch darstellbar ist und den Rest halt noch "formal" beweisen.

Vielleicht machst du dir zu viele Gedanken? Sofern das Gesagte in einem angenehmen Ton von dir gegeben wurde, sehe ich kein Problem darin? Und wieso solltest du denn auf eine Absage einer WG antworten?

Es gilt ja trotzdem



daher kommt die Fallunterscheidung "n gerade" und "n ungerade" und mit etwas Glück eliminieren sich in einem oder in beiden Fällen einige Terme etc

Ich finde das ist etwas unpräzise formuliert.

Es gilt ja



(diese Menge wird ja unter anderem als die Menge aller Abbildung von X nach {0,1} definiert und dies lässt sich über die Indikatorfunktionen gut ausdrücken, siehe ganz rechte Menge)

wobei



jetzt prüfst du erstmal die Injektivität und Surjektivität der Abbildung:



bezeichnen wir diese Abbildung mal mit psi, dann sieht sie einfach so aus:



(damit lässt sich die Injektivität und Surjektivität einfach zeigen)

nun gilt im Allgemeinen:

Seien X,Y zwei endliche Mengen, d.h. |X|,|Y| < unendlich, dann gilt für die Menge aller Abbildung von X nach Y:



(lässt sich auch recht einfach durch etwas Kombinatorik zeigen)

da wir nun eine Bijektion vorliegen haben, muss die Mächtigkeit beider Mengen gleich sein, damit folgt die letzte Gleichheit bei dir.

Hi,

a) bedeutet doch



betrachte k=1, z=(-1) dann ist



aber



demnach stimmt a) nicht

b) müsste stimmen, da



damit würde ich dir zustimmen

es sei denn ich habe gerade einen Denkfehler

Hi, du musst bei Rotation um die y-Achse die Umkehrfunktion in dem gennanten Bereich integrieren, d.h. du musst die Funktion nach x auflösen:



demnach lautet das Volumen:



Betrachte:



ist nach oben beschränkt (ist niemals größer Null) aber nimmt nirgendwo ihr Supremum an, daher gibt es kein Maximum.

Da brauchst du nicht die Ableitung, eine Nullstelle heißt ja nichts anderes als



bei dem Hochpunkt musst du aber die erste Ableitung an der Stelle Null setzen



außerdem weißt du dass es sich um einen Hochpunkt handelt, daher hast du noch die Bedingung



Sei



dann hätte ich die gesuchte Anzahl so berechnet:



(4+2)! / (4! * 2!) = Anzahl der Vektoren mit Länge 6, wobei 2 Einträge davon Z und 4 Einträge davon B sind, zum Beispiel also (Z, Z, B, B, B, B) usw

was sagt denn die Lösung? Und vor allem wieso ist die Lösung eine Kommazahl? Müsste doch eine natürliche Zahl sein.

Es ist (nach der geometrischen Summenformel)



demnach gilt mit



für die Summe



(gilt für beliebige m aus den natürlichen Zahlen)

in deinem Beispiel ist mit (du kannst auch ein anderes m wählen, aber für dieses verschwindet im Nenner eine Zahl)



erfüllt:



das gilt natürlich nur wenn A,B beliebig gewählt werden dürfen

Folgendes sollte klar sein



also



zu (c):

die Umkehrung gilt auch, aber eben nur weil f injektiv ist. Denn betrachte mal



(was folgt jetzt aus der Injektivität von f ?)

zu (d):

Es sei



nun betrachte



diese Abbildung ist offensichtlich surjektiv. Jetzt sei



damit folgt



Hi, du sollst zeigen dass rang(SAT) = rang(A) ist, d.h.

dim(Bild(SAT)) = dim(Bild(A))

was sich gut durch den Rangsatz nachweisen lässt oder direkt in dem du dir eine Basis des Bildes von A anschaust und daraufhin genau so viele linear unabhängige Vektoren im Bild von SAT findest (durch eine geschickte Wahl von Vektoren ist das schnell gemacht. Dabei verwendest du dann die Invertierbarkeit der Matrizen S,T)

Schlussendlich zeigst du dann noch wieso



nicht gelten kann (z.B. über einen Widerspruch)

Falls du nicht weiterkommst, kannst du dich gerne melden.

zu b) bzgl der Reflexivität überlege dir mal Folgendes: Steht a=4 in Relation zu sich selber? D.h. gilt etwa



offensichtlich sieht das falsch aus. D.h. (4,4) ist nicht in der Menge enthalten bzw. a=4 steht nicht in Relation zu sich selber, demnach kann die Relation nicht reflexiv sein. Die anderen Eigenschaften hast du denke ich mal bei der b) richtig geprüft.

zu a) habe ich das Ganze folgendermaßen verstanden: Die Anti-Symmetrie ist nicht gegeben, da nach der Definition z.B. ja gilt 2R(2^2) in beiden Zahlen (also in der 2 und der 2^2) kommt die 2 als Primzahl vor (in der Relation ist ja nicht die Rede davon dass man die Vielfachheiten der Primzahlen mitteilt) und natürlich (2^2)R2 aber die Zahlen sind natürlich nicht gleich, demnach ist die auch nicht anti-symmetrisch. Aber sie müsste dann immerhin transitiv sein (und natürlich reflexiv so wie du es richtig bemerkt hast). Wenn wir aber davon ausgehen dass die Definition die Vielfachheiten der Primzahlen miteinbezieht, dann wäre die Anti-Symmetrie natürlich korrekt, aber transitiv wäre es doch trotzdem auch.

Falls ich einen Denkfehler habe kannst du mich gerne aufklären

Das sieht doch ganz gut aus. Die Gleichung -2x+a=1 gilt es jetzt zu lösen.

Wird euch kein bestimmter Punkt vorgegeben an dem die Steigung 1 sein soll? Wenn ja, dann setzt du den x-Wert dort ein und formst nach a um: a = 1+2x

ansonsten kannst du natürlich ganz allgemein eigene Punkte finden die bzgl einem bestimmten a die Steigung 1 an dem Punkt haben: x=(a-1)/2

Hi, das LGS sieht zumindest richtig aus. Wir können das Ganze auch etwas eleganter und kompakter über die Matrix-Notation darstellen:

ich habe lediglich die Zahlen ohne die Unbekannten davor auf eine Seite gebracht und auf der anderen stehen die 3 Unbekannten, das ist einfach die Übersetzung der drei Gleichungen:

• -r +6s + 4t = 0
• 2r +6s +8t = -10
• -r + 3s +8t = 0

nun kannst du dieses über die Gauß-Elimination, Cramersche-Regel oder sonstigen Methoden lösen (dir sollte zumindest eine Methode davon bekannt sein, ansonsten verstehe nicht wie sie euch ein LGS mit 3 Unbekannten geben können....)

Bedenke: Wenn keine Lösung existiert (kann ja auch vorkommen), dann schneiden die sich gar nicht (die Gerade mit der aufgespannten Ebene in der das Dreieck enthalten ist), also trifft die Gerade auch nicht das Dreieck.

Wenn nun eine (oder mehrere Lösungen existieren) dann musst du noch folgende Bedingungen prüfen:

• 0 <= s <= 1
• 0 <= t <= 1
• 0 <= s+t <=1

meine Lösung sagt mir dass alle drei Bedingungen nicht erfüllt sind, d.h. die Gerade verläuft nicht durch das Dreieck.

Ich hoffe das hilft zumindest etwas weiter.

In der Funktion



dominiert für x gegen Unendlich der Term



dieser konvergiert aber für x gegen Unendlich gegen Null.

D.h. die Asymptote für x gegen Unendlich wäre in dem Fall die Nullfunktion.

sinh(x) und cosh(x) sind überall differenzierbar und folglich auch das Produkt.

(sofern ihr hattet das sinh(x) und cosh(x) differenzierbar sind)

Wenn du weißt das e^x differenzierbar ist kannst du mithilfe der Kettenregel und der Summenregel für die Differenziation auch die Differenzierbarkeit von sinh(x) und cosh(x) für ganz R nachweisen.

Ist etwas einfacher als es mit dem Differenzialquotienten nachzuweisen.

Hi, ich habe es mal folgendermaßen zusammengefasst

(klick drauf um ein schärferes Bild zu erhalten)

da du den Ausdruck in der Summe wegen der Linearität der Summe auseinanderziehen kannst und bereits die Formeln für die Summe der ersten ganzen Zahlen (kleiner Gauß) und die ersten Quadratzahlen kennst, solltest du damit zum Ziel kommen.

Man kann auch übrigens über den binomischen Lehrsatz und einem kleinen Trick eine etwas allgemeinere Formel herleiten

und auf ähnliche Weise

hierbei ist zu beachten, dass für den rechten Ausdruck beider Gleichungen eine explizite Formel daraus induktiv hergeleitet werden kann.

Fast, wir müssen aber noch die mehrfachvorkommenden Buchstaben miteinbeziehen, 14! wäre richtig wenn sich alle Buchstaben unterscheiden würden.

• Anzahl an V's = 1
• Anzahl an I's = 1
• Anzahl an D's = 1
• Anzahl an E's = 3
• Anzahl an O's = 2
• Anzahl an K's = 1
• Anzahl an N's = 2
• Anzahl an F's = 1
• Anzahl an R's = 1
• Anzahl an Z's = 1

es gibt also mehrere E's, O's, und N's diese machen zusammen 3!*2!*2! Möglichkeiten an Anordnungen aus in jedem Wort, d.h. die eigentliche Anzahl würde man so berechnen



Bemerkung: Hier sind auch "Wörter" drin die es in der deutschen Sprache nicht gibt.

Das ist keine Annäherung sondern die Definition vom Sinus hyperbolicus