Kosinus Summe Identität?

Zeige für alle t nicht in 2piZ die Identität

Summe(k = 1 bis n) cos(kt) = sin(n+1/2)t / 2sin(t/2) - 1/2. 

Nutze hierfür die komplexen Identitäten für sin und cos.

Das ist eine Aufgabe, die ich damals mal machen sollte. Ich hatte sie aber nicht gemacht. Kann mir einer dazu einen sinnvollen Beweis liefern bzw. empfehlen?

Answer 1

[KunXz]

Hallo, nutze die eulersche Formel indirekt, d.h.

$cos(kt) = \frac{1}{2}(e^{itk} + e^{-itk})$

und beachte dass:

$e^{itk} = (e^{it})^k$

folglich erhältst du zwei geometrische Summen, die explizite Formel für diese solltest du zumindest kennen?

Das müsste jedenfalls zum Ergebnis führen.

Die rechte Seite müsste dann auch (indirekt) aus der eulerschen Formel folgen, denn es gilt ja auch:

$sin(x) = \frac{1}{2i}(e^{ix} - e^{-ix})$