Komplexe Additionstheoreme?

1 Antwort

Von Experte Halbrecht bestätigt

Also was bei b) mit kompexer Darstellung des Sinus und Kosinus gemeint sein soll, ist mir unklar.

Aber bei a) bist Du auf dem richtigen Weg: Die linke Seite ausmultipliziert ergibt

cos³(x) + 3i*cos²(x)sin(x) + 3i²*cos(x)sin²(x) + i³*sin³(x)

Da uns nur der Realteil interessiert:

cos³(x) - 3*cos(x)sin²(x)

Nun ist cos³(x) = cos(x)*cos²(x) = cos(x)(1-sin²(x)) = cos(x) - cos(x)sin²(x)

Also der Realteil der linken Seite insgesamt

cos(x) - cos(x)sin²(x) - 3*cos(x)sin²(x) = cos(x) - 4*cos(x)sin²(x)

Könntest du nochmal kurz zeigen, wie du die linke Seite ausmultipliziert hast?

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@Chrissteve

Dahinter verbirgt sich der binomische Satz. Das ist die Erweiterung der ersten binomischen Formel auf höhere Exponenten.

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz#Beispiele

erstes Beispiel: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, dabei ist bei uns a = cos(x) und b = i*sin(x).

(Ich habe die Variablen aus der Wikipedia umbenannt, weil x schon vergeben war.)

Notfalls muss man erst (a + b)² ausmultiplizieren und dann nochmal mit (a + b) multiplizieren, um auf (a + b)³ zu kommen.

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@tunik123

Ah okay danke, könntest du noch den letzten Teil erklären, wo du den Realteil der linken Seite gezeigt hast. Müsste da nicht, laut der Aufgabe, cos x - 4sin^2 x cos x stehen. Bei dir ist es ja vertauscht, also die -4 oder sehe ich es falsch.

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@Chrissteve

cos(x) und sin²(x) sind Faktoren einer Multiplikation, die kann man vertauschen.

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@tunik123

Bin mit der Aufgabe allerdings nicht fertig oder? Also müsste ja noch die Euler Formel Verwenden.

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@Chrissteve

Hast Du doch schon ;-)

cos(3x) + isin(3x) = e^(i*3x) = e^(ix*3) = (e^(ix))^3 = (cos(x)+isin(x))^3

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@tunik123

Weißt du vielleicht, was ich bei b) machen soll?

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@Chrissteve

Bei der b) vermute ich, dass es um

cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2

sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)

geht. Das soll man wohl in

cos(x) - 4 sin²(x) cos(x)

einsetzen und ausmultiplizieren.

Das wird eine dann wüste Rechnerei, bisher habe ich das nicht hinbekommen.

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@tunik123

\frac{ { e }^{ ix } + { e }^{ -ix } }{ 2 } -4 { \left( \frac{ { e }^{ ix } - { e }^{ -ix } }{ 2i } \right) }^{ 2 } \frac{ { e }^{ ix } + { e }^{ -ix } }{ 2 } beim ausmultiplizieren komme ich nicht weiter

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@tunik123

Aber hast Recht, man soll es mit der Darstellung machen. Also einsetzen und ausmultiplizieren

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@Chrissteve

Ja, inzwischen. Aber es keinen Spaß gemacht.

Ich setze e^(ix) = p und e^(-ix) = n, um den Schreibaufwand in Grenzen zu halten.

cos(x) = (p + n)/2

sin(x) = (p - n)/(2i)

sin²(x) = -1/4 * (p - n)² = -1/4 * (p² - 2pn + n²)

Wegen pn = 1 gilt

sin²(x) = -1/4 * (p² + n² - 2)

Dann ist

-4sin²(x)cos(x) = (p² + n² - 2) * (p + n) / 2

= (p³ + n²p - 2p + p²n + n³ - 2n)/2

Wegen p²n = p und n²p = n wird daraus (p³ + n³ - p - n)/2

cos(x) - 4sin²(x)cos(x) = (p + n)/2 + (p³ + n³ - p - n)/2 = (p³ + n³)/2

Das ist (e^(i3x) + e^(-i3x)) / 2 = cos(3x)

Eine Scheiß-Aufgabe. Man kann mit komplexen Zahlen viele interessante und nützliche Dinge anrichten, aber das musste jetzt wirklich nicht sein.

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@tunik123

Hab's auch schon herausbekommen. War nicht so schön aber naja hahah

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oha , hilfreich bewertet von 2 Besuchern . Wie findet man nur solche Fragen ( bzw Antworten ? )

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