Komplexe Nullstellen, Lösung des Anfangswertproblems?

wie kommt man auf die Funktionen y1,y2,y3?

Ich weiß dass e^ix = cos(x) + i * sin(x)

die homogene Lösung = $A\ \cdot\ e^{\left((1\cdot x\right)}\ +\ B\ \cdot\ e^{^{\left(1\ +\ i\sqrt{2}\right)\cdot x}}\ +C\cdot\ e^{^{\left(1-\ \ i\sqrt{2}\right)\cdot x}}$

$e^{\left(i+i\sqrt{2}\right)x}\ =\ e^{x\ }\cdot\ \left(\cos\sqrt{2}x\ +\ i\ \cdot\ \sin\sqrt{2}x\right)$ Darf man hier den Imaginärteil einfach weglassen?

Answer 1

[DerRoll]

Das ist der Standard-Lösungsansatz für gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Den mußt du schlicht auswendig lernden. Siehe z.B. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen Abschnitt IV Lineare Differentlialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Herleitung findest du in den Kapiteln 14 (zweite Ordnung) und 15 (allgemeine Ordnung).

Der Imaginärteil wird nicht "weg gelassen", sondern es entstehen zwei unabhängige Lösungen für komplexe Nullstellen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[rosesarerosie4]

Vielen Dank!!