Frage zum Logarithmus bei einer DGL?
Hallo, meine Frage schließt an eine vorherige Frage an, die leider dem Gutefrage-Algorithmus zum Opfer geworden ist. Undzwar:
was dann umgeformt wird zu:
Mir ist natürlich klar, dass auf beiden Seiten die Basis e genommen wird, um den ln loszuwerden, ich versteh nur nicht, wieso dann das Betragszeichen wegfällt. Mir ist klar, dass der ln nur für positive Werte definiert wird, aber was ist, wenn y negativ ist?
Einer erste Antwort hatte ich bereits erhalten: "dann lass den Betrag stehen und schau an, was auf der rechten Seite steht. Kann dann y als Funktion von x noch negativ sein? Nein! Also kannst Du die Betragsstriche auch weglassen."
Das verstehe ich aber nicht.Warum sollte y dann nicht negativ sein dürfen?#
Danke im Voraus!
4 Antworten
Hallo,
betrachten wir mal
wenden wir auf beiden Seiten e^x an erhalten wir
wobei hier D = e^C > 0 ist.
Da wir nun immer noch den Betrag vorliegen haben, erhalten wir natürlich die beiden Lösungen
Hier ist immer D > 0
Als allgemeine Lösung erhalten wir dann
und hier darf dann B auch negativ sein, hängt jetzt natürlich vom Anfangswert ab und so weiter. Außer B = 0 natürlich.
Wieso kann hier B jede reelle Zahl (außer Null) sein? Das liegt einfach daran dass e^C (C beliebig) jede positive reelle Zahl darstellen kann (außer Null) und -e^C jede negative reelle Zahl (außer Null)
Diese Frage stellt sich gar nicht, denn du setzt bereits voraus:
ln(|y(x)|) = 1/2 * x^2 + C
und hier gibst du sozusagen schon den Wertebereich mit, falls y(x) = 0 werden würde, würde die Gleichung noch gelten? Inwiefern? Kann man das sinnvoll definieren? Deswegen muss die Lösung (so wie sie dann auch rauskommt) immer > 0 oder < 0 (abhängig vom Anfangswert), aber der Anfangswert würde dann immer eine eindeutige Lösung im Funktionenraum (hier denke ich du gehst schon von C^1 aus) definieren.
Betrachte es doch mal so: Du hast diese DGL gegeben und irgendeinen Anfangswert, kommt für den Anfangswert was positives raus, dann hättest du dann die eindeutige Lösung:
y(x) = e^(1/2*x^2 + C) | für ein eindeutig bestimmtes C
Falls für den Anfangswert was negatives rauskommen würde, dann hättest du die eindeutige Lösung:
y(x) = - e^(1/2*x^2 + C) | für ein eindeutig bestimmtes C
y(x) darf auch nach dem Zwischenwertsatz nicht plötzlich das Vorzeichen wechseln (weil die Gleichung ja nicht für y(x) = 0 erfüllt sein kann), wenn dir das noch als zusätzliches Argument hilft
Verstehe ich dich dann richtig, dass die Eindeutigkeit der Lösung gar keinen Anlass dazu gibt. Also im Sinne von: Ich habe eine Gleichung , von der ihr Anfangswert sagen wir negativ ist. Dann sehe ich, oh D= -2 löse ich die DGL, denn sie passt zum AWP und der Betrag davon ist aufjedenfall von der Form
exp{x+C}. Da die Lösung einer DGL immer eindeutig ist (vorausgesetzt lipschitz-stetig usw.), ist das auch die einzige Funktion die die DGL löst, wobei sich dann für negative AW immer ausschließlich negative Funktionen ergeben und für positive AW ausschließlich positive Funktionen
Danke nochmal!
Da muss man dann doch aufpassen. Also wenn du nur von der Gleichung ausgehst, dann ja, das habe ich ja gemacht. Aber eigentlich muss man schon von der DGL ausgehen, z.B. für y' = x*y. Hier hätten wir trotzdem Glück meiner Meinung nach, denn egal was y(x_0) = c wäre, müsste zuerst lokal die Eindeutigkeit der DGL (nach Picard-Lindelöf) folgen, daraufhin weiten wir das Intervall auf [-M, M] aus, für beliebige M > 0, und zeigen dann das die Lösung (da für jedes belieb große M) eindeutig ist, sie auch global eindeutig sein muss. Oder habe ich irgendwo nen Denkfehler?
Bei uns wurde die Lipschitz-Stetigkeit bzw. Picard-Lindelöf (wenn es das ist?) nur beiläufig als Kriterium für die Eindeutigkeit der DGL erwähnt, deswegen kann ich dazu nicht so viel sagen.
Ich konnte aus den Zeilen auch nicht wirklich rauslesen, ob ich dich jetzt vom Beitrag davor (dein Beitrag, 1 Stunde 33 Minuten) richtig verstanden hatte?
Deine erste Antwort war etwas verwirrend für mich, hier gilt jedenfalls meiner Meinung nach:
Lösungsraum = {B*e^(1/2x^2)) | B reelle Zahl}
(1-dimensionaler Lösungsraum, was hier ja auch Sinn macht)
und ja, hier darf B=0 auch sein, denn y(x) = 0 für alle x, wäre auch eine Lösung der DGL y' = x*y
falls ich mich irre, bitte ich darum korrigiert zu werden
Meine 1. Antwort bezog sich darauf, warum y(x) entweder immer positiv oder immer negativ ist. Es könnte ja sein, dass y(x) sein Vorzeichen verändert und man die Betragszeichen nicht so einfach weglässen könnte. Und da frage ich mich, ob ich dich richtig verstanden habe, dass du meinst, das sei nicht der Fall, wegen der Eindeutigkeit der Lösungen. Denn habe ich einen positiven Anfangswert ist ersichtlich, dass bei B*e^(1/2x^2), B eine positive Zahl sein wird und damit die Funktion die DGL löst. Bei einem negativen AW ist dann B negativ, also analog zum Fall 1. Deswegen, so hatte ich dich verstanden, ist das kein Problem, denn für AW positiv habe ich eine Lösung die nur positiv ist und für AW negativ eine, die nur negativ ist. Dann das ist eben die einzige, eindeutige Lösung. Punkt
Vielleicht wird ersichtlich, wo mein Problem ist, wenn man DGLs mal kurz außer Acht lässt und sich die Frage nach der Lösungsmenge der Gleichung:
|y| = 1/2 * x^2 wenn x von 0 bis eins läuft, stellt. Dann ist z.B. sowohl y=1/2 als auch y= -1/2 Element der Lösungsmenge (wenn x=1 ist).
Aber wenn y(x) eine differenzierbare Funktion sein soll, dann ist das natürlich suboptimal.
Klärt das meine Frage bzw. mein Statement. Wenn ich Unrecht habe, wäre es sehr nett mir nochmal zu erklären, warum sich diese Frage "nicht stellt"
Danke dir!
y ist eine Funktion von x in dem Fall, wir suchen ja nicht einfach Punkte (x,y) die das erfüllen, sondern eine Funktion für die y-Koordinate in Abhängigkeit von x, die sogar zusätzliche Eigenschaften wie Differenzierbarkeit an manchen Stellen erfüllen muss, ansonsten wäre ja y' = x*y eine Gleichung die gar nicht mehr von Belang wäre.
Ja, genau so sehe ich das. Ist der Anfangswert positiv, so gibt es eine eindeutige positive Lösung von der Form B*e^(1/2x^2) mit B > 0 und analog eine eindeutige negative Lösung B*e^(1/2x^2) mit B < 0 für einen negativen Anfangswert.
Diese Lösungen sind eindeutig nach Picard-Lindelöf, und für jeden Anfangswert (positiv, negativ analog) gibt es dann eine von diesen eindeutigen Lösungen.
Jetzt kommt aber noch ein Spezialfall hinzu: Gibt es konstante Lösungen? Einsetzen ergibt für y(x) = k (konstant)
0 = y'(x) = x*y(x) = x*k | das muss jetzt für alle x gelten nach Voraussetzung
deswegen ist die einzige konstante Lösung: k = 0, also y(x) = 0
diese drei vereint ergibt den eben genannten Lösungsraum von mir.
Zusatz:
Um deine Frage zu klären betrachten wir mal den Fall:
- Nehmen wir an es gibt ein x_0 sodass y(x_0) = 0
was würde dann passieren? Ist jetzt y(x) nicht gleich konstant Null, sagen wir für x* ist y(x*) > 0 (oder < 0), dann gebe es aufgrund des Zwischenwertsatzes eine offene Umgebung von um x* für diese dann gelten müsste y(x) > 0 (oder < 0) mit x in dieser Umgebung U(x*). Jetzt hast du folgendes Problem: In diesem Bereich würde ja wieder deine Gleichung greifen, d.h. wir hätten eine Lösung von der Form y_1 = Be^(1/2x^2) (auf U(x*)), richtig? Jetzt gilt aber nach dem Satz von Picard-Lindelöf dass die Lösung eindeutig sein muss, d.h. y(x) = Be^(1/2x^2) mit B > 0 was ja niemals Null werden kann, d.h. y(x_0) = 0 = Be^(1/2(x_0)^2) ist unmöglich, demnach erhalten wir einen Widerspruch und y darf (abgesehen von der Nulllösung) nicht Null werden.
Danke dir. Aber mal ganz ehrlich, was ist eine Funktion, denn, wenn nicht eine Menge an Paaren, die eine bestimmte Bedingung erfüllen. Deswegen kann ich diesen Punkt irgendwie nicht nachvollziehen.
Wo fängt eine Funktion auf und wo hört sie auf. Warum darf ein einziges Zahlenpaar keine Funktion sein? Steht irgendwo in den Spielregeln für das Lösen von DGLs, dass am Ende ein Objekt rauskomme muss, was z.B. auf ganz R definiert sein soll? Warum sollte die Funktion e^(1/2x^2) mit Ausnahme für x=0 ist f(0) = -1 per Definition keine legitime Funktion sein, die die DGL löst (das tut sie ja).
Klar sie ist nicht differenzierbar, und das ist in vielerlei Hinsicht unpraktisch.
Eine DGL ist ja, mMn. am Ende nichts anderes als die Suche nach einem Objekt, wobei dieses Objekt (gemeint ist die Funktion) für eine Vielzahl von x'en löst
Oder seh ich das falsch?
Es war etwas fies zu sagen: "Die Frage stellt sich gar nicht".
Was ich damit meinte ist das falls wir nur die folgende Gleichung gegeben haben:
ln(|y(x)|) = 1/2 * x^2 + C
dann würde die Gleichung keinen Sinn mehr machen.
Das liegt daran, dass du ja annehmen musst:
- Es gibt ein x in R sodass y(x) = 0
was würde jetzt daraus folgen?
ln(|y(x)|) = ln(0) = - Unendlich = 1/2 * x^2 + C > - Unendlich
Und das lässt sich leider auch nicht dadurch beheben dass wir eine Folge y_n -> 0 gehen lassen und dann die Gleichung betrachten, denn ln(x) -> - Unendlich für x -> 0
-> (steht hier dafür dass es gegen den Wert strebt)
Eine Funktion ordnet jedem x einen eindeutigen Wert y zu. D.h. y(x) ist ein Element der reellen Zahlen (in dem Fall), sowas wie y(0) = 5 und y(0) = 6 wäre z.B. nicht erlaubt. Eine Funktion ist auch eine Form von Relation in der Mathematik.
f(0) = -1 löst deine DGL aber nicht, bedenke, dass deine Gleichung für alle x gelten muss.
Versuche mir mal eine Funktion zu basteln die irgendwo Null wird aber nicht überall und die erfüllt:
y'(x) = x*y(x)
das wird nicht funktionieren, weil du hier annehmen musst (da in der Gleichung y' auftaucht) das y Differenzierbar ist, also insbesondere auch stetig sein muss.
Warum löst f(0) = -1 und für alle restlichen x e^(x^2/2) die DGL nicht. Ich ging von der Bedingung
mit dem C weggedacht?
Edit: Weil sie nicht stetig ist oder wieso und deswegen die Ableitung in x=0 nicht existiert?
Du hast lediglich ein Punktepaar gefunden (x = 0, y = -1) das diese Gleichung löst, das ist aber keine Funktion, richtig?
Versuch mir eine Funktion zu basteln für die gilt:
- y(x) = 0 für irgendein x in R
und
ln|y(x)| = 1/2x*2 + C
das ist unmöglich.
Du solltest auch nicht vergessen:
Aus y'(x) = x*y(x) folgt nicht ln|y(x)| = 1/2x^2 + C
Es gilt nur:
Aus ln|y(x)| = 1/2x^2 + C folgt y'(x) = x*y(x) (nicht andersherum)
Die Funktion soll sein e^(x^2/2) für alle x außer 0 und für x=0 f(0)= -1
So wie ich dich verstehe geht das aber nicht, weil die ja nicht für alle x differenzierbar ist, oder?
Inwieweit das jetzt? Sry, das verstehe ich nicht ganz..
Korrekt, die würde aufgrund der Bedingung: y(x) muss differenzierbar sein, direkt ausscheiden
Es gilt nur:
Aus ln|y(x)| = 1/2x^2 + C folgt y'(x) = x*y(x) (nicht andersherum)
denn lösen wir die Gleichung auf erhalten wir:
y(x) = B*e^(1/2 x^2)
und dafür gilt: y'(x) = x*y(x)
Aber:
Aus y'(x) = x*y(x) folgt nicht ln|y(x)| = 1/2x^2 + C
denn:
y(x) = 0 ist auch eine Lösung (die einzige konstante Lösung) aber für y(x) gilt nicht
ln|y(x)| = 1/2x^2 + C
Aus A folgt B aber aus B folgt nicht unbedingt A (Aussagenlogik hier)
Aber aus y'(x) = x*y(x) zeigen doch alle Implikationspfeile nacht rechts sozusagen, sodass dann ln|y(x)| = 1/2x^2 + C folgt. Dann müsste doch da eine Implikation nicht rechtens sein, wenn y(x)=0 als Lösung unterschlagen wird, oder nicht?
Wie muss ich mir das vorstellen?
y'(x) = x*y(x)
<=>
<=>
<=>
aber dann irgendwie:
<=
<=>
<=>
ln|y(x)| = 1/2x^2 + C
ist y(x) = 0 so dürfest du nicht durch y(x) teilen und somit dürfest du auch dann nicht integrieren usw. und würdest nicht mehr zu deiner Gleichung kommen. Du darfst die Methode 'Trennung der Verändlichen' nur anwenden wenn y(x) nicht Null ist. Was du ja getan hast, aber danach musst du auch noch auf mögliche konstante Lösungen untersuchen was ich ja auch gemacht habe
Ist dann die Prämisse, dass y(x) in keinem Punkt 0 sein darf, oder die Funktion als solche ungleich die Konstante Funktion 0 ist? Dann würde aber, abgesehen von diesem Beispiel natürlich, schon folgen, dass ln|y(x)| = 1/2x^2 + C, oder?
Edit: Eigentlich doch, dass sie nie 0 ist, oder?
In dem Fall nie Null.
Allgemeine würde es so aussehen: y' = f(y) * g(x)
und dann würdest du f(y) = 0 setzen und hättest zusätzliche konstante Lösungen, was eben genau diese Nullstellen y von f sind.
Danach dann die Methode 'Trennung der Veränderlichen' verwenden um weitere Lösungen zu finden
Ok, wenn ich die ganze Diskussion zusammenfasse bzw. wenn ich das jetzt zusammenfassend richtig verstanden habe, dann
(a) muss man wenn dy/y vorkommt, als Stammfunktion ln(/y(x)/) hinschreiben
(b) Die rechte Seite dann entweder plus oder minus als Vorzeichen hat, wobei das in einer neuen Konstanten B zusammengefasst wird, z.B y(x) = B*e^(1/2 x^2), wobei B entweder positiv oder negativ ist
(c) Die Funktion muss für alle x lösen, deswegen sind unstetige und damit nicht diffbare Funktionen, die zwar die Bedingung |y(x)| = 1/2x^2 + C erfüllen, dennoch nicht erlaubt, weil für die Unstetigkeiten keine Ableitungen existieren
(d) Ich anfangs überprüfen muss, wie Lösungen für y(x)=0 aussehen, weil ich die Anfangsprämisse um die Variablen zu separieren, dass y(x) nie 0 ist, habe.
Kann man das dann so sagen. Gibt das deinen Segen? Danke dir nochmal Recht herzlich für deine Hilfe!
Ich habe zuerst deine andere Frage gesehen und beantwortet, bevor ich diese Frage hier gesehen habe, wo Rammstein53 schon für Klarheit gesorgt hat. Mich würde allerdings auch interessieren, "welcher Algorithmus was gemacht hat."
Danke auch dir für deine Antwort! Ich habe oftmals das Gefühl, dass wenn einer antwortet, die Frage für den Algorithmus als tot deklariert wird. Wenn du auf mein Profil gehst, wirst du sehen, dass die Mehrheit der Fragen maximal eine Antwort haben.
Wenn die Antwort dann auch noch unbefriedigend ist, hilft meist nichts weiter, als die Frage einfach nochmal zu stellen
Die Gleichung hat zwei Lösungen:
Danke dir, eine Nachfrage habe ich aber noch. Undzwar wenn ich zu y = K * exp( 1/2 x^2) vereinfache, wobei in der Konstanten K sowohl negative als auch positive Lösung abgespeichert ist, setze ich damit nicht automatische voraus, dass das, was im Logarithmus steht, entweder
(a) immer positiv oder (b) immer negativ ist. Wenn y z.B. eine Nullstelle hätte und vom Positiven ins Negative wechseln würde, könnte, dann könnte ich doch garnicht mehr so einfach sagen, ob oder nur
Wobei sowieso keine Nullstelle haben kann, ob positiv oder negativ . Und Wertepickerei darf ich ja auch nicht machen (also mal Werte von und mal welche von nehmen, wobei diese neue Funktion die DGL lösen würde, weil das unstetig wäre, und das soll anscheinend nicht
Erübrigt sich dann die Frage?
Beachte das y eine Funktion von x ist. Beachte das die rechte Seite sowieso immer größer als 0 ist und daher y immer größer als 0 ist, der Betrag also überflüssig ist.
Die Antwort die du erhalten hast ist also völlig korrekt und ich verstehe nicht was daran unverständlich ist.
... Danke, war meine Antwort. Ich habe es auch nicht verstanden, was daran unverständlich sein soll - Die erste Frage ist auch noch online.
Klingt irgendwie danach, als glaube der/die FS, dass es sich um unabhängige Größen handele.
Angenommmen die rechte Seite wäre für ein x gleich 3. Woher soll ich wissen, ob y(x) dann 3 oder -3 ist?
Du willst nicht verstehen, dass eine Funktion y(x) gesucht ist, nicht irgendwelche Kombinationen von Zahlen, die Du Dir ausdenkst.
Mir ist schon bewusst, dass eine Funktion y(x) gesucht ist, dennoch: ich weiß nur, dass der Betrag dieser gesuchten Funktion die Gestalt der rechten Seite vom Gleichheitszeichen hat. Woher soll ich dann aber wissen, wie y(x) wahrhaftig aussieht, wenn die gesuchte Funktion y(x) und -y(x) den gleichen Betrag haben und daher betraglich gleichaussehen?
Schau Dir mal den Graphen der Funktion an, den ich Dir in meine Antwort zu Deiner ersten Frage zum gleichen Thema gezeichnet habe. Wenn da jetzt irgendwie noch unklar ist, warum man gut und gerne Betragsstriche weglassen kann, dann weiß ich auch nicht weiter.
Mir ist klar, dass e hoch irgendwas immer positiv ist. Aber der Betrag einer Funktion, die nur negative Werte hat, ist vom Betrag auch immer positiv. Warum sollte, das, in Bezug auf den Graphen, den du gezeichnet hast, also Aufschluss darüber geben, ob y(0) jetzt 1 oder -1 ist? Bekannt ist lediglich, dass der Betrag von y(0) gleich e^0 ist.
Immerhin stehen die Betragsstriche nicht um das e hoch bla herum, sondern um das y(x).
Du willst aber die Funktion und nicht deren Betrag berechnen. Du denkst bei dem Thema viel viel zu kompliziert. Es bleibt dabei, y ist eine abhängige Variable und du versuchst zwanghaft sie als unabhängig zu betrachten.
Beachte auch dass sich die Positivität von y erst NACH Auflösen des ln offensichtlich ergibt. DAVOR muß man den Betrag also stehen lassen.
Ich gebe hier auf ... Du denkst Dir eine Funktion aus, wobei aber die Lösung der Differenzialgleichung eine solche Funktion gar nicht erlaubt, weil die Lösung das ergibt, was sie ergibt. Oder anders: Du stellst permanent die Lösung infrage.
Ich verstehe das wirklich nicht, und möchte auch nicht, dass ihr frustriert von meinen Fragen seid. Ich verstehe einfach nur nicht, warum ich irgendwelche Lösungen infrage stelle. Ich dachte, Konsens wäre, dass eine Funktion y(x) die DGL löst, die so beschaffen ist, dass ihr Betrag gleich e hoch irgendetwas ist.
Ich mache mir nur Sorgen, weil ich nicht verstehe wie ich konkret y(x) identifizieren soll. Wenn es 2 Funktionen gibt, die die Bedingung, die ich aus der DGL folgen, erfüllen sowohl. als auch -y sind vom Betrag her gleich e hoch bla. Wo also liegt mein Gedankenfehler?
Dein Denkfehler ist das du den Betrag zur Funktion y dazu zählst, obwohl er nicht zu y gehört. Er ist da "zur Sicherheit", um die Allgemeingültigkeit der ersten Gleichung nicht zu gefährden. Löst man aber den Betrag mit der Exponentialfunktion auf so sieht man dass der Betrag tatsächlich nichts zusätzliches leistet.
Wenn die rechte Seite die Gestalt der schwarzen Funktion hat, warum löst dann rot nicht die DGL, die betraglich genau die schwarze Funktion ergibt. Ich habe das in der Frage jetzt ergänzt.
Gerade das ist der Punkt, wo es scheitert. Ich sehe nicht, wie e^ln(Betrag einer Funktion y) den Betrag "auflöst"
e^ln löst den Betrag NICHT auf. Was den Betrag überflüssig macht ist die rechte Seite. Denn das was rechts steht ist immer größer 0, damit ist der Betrag obsolet.
Aber der Betrag steht doch nicht um das rechte herum, sondern um das linke. Ich habe oben eine Funktion hingemalt, wobei schwarz die rechte Seite ist und links y(x). Ich wäre dir wirklich sehr dankbar, wenn du mir sagen könntest, wieso die rote Funktion die DGL NICHT löst.
Ich sehe die Änderung noch nicht. Ansonsten habe ich dir aber bereits geschrieben warum der Betrag in der ersten DGL steht, in der zweiten aber nicht.
Ja, sry, ich versteh nicht, wieso Gutefrage immer so streikt. Aber Stell dir vor y(x) hat die Gestalt
Ohne das C bzw. C=0, wobei y(0)= -1 per Definiton ist. Warum löst diese Funktion die DGL nicht, wenn ich nur weiß, dass
erfüllt werden soll.
Wie genau löst du die Gleichung y(0) = -1? Für welches C soll das denn erfüllt sein? Da kann ich mir nicht wirklich etwas "vorstellen", da es mathematisch unmöglich ist.
für y(0) = -1 ist ln 1= 0 = 1/2 * 0^2 . C war als 0 angenommen
Woher kommt 0^2? Da steht eine e^(irgendwas), kein 0^(irgendwas)
Ich meine die Gleichung, davor, wo noch der ln steht
Du schreibst selbst y(x) = e^(x²/2 + C), eine Funktion die IMMER > 0 ist. Diese Funktion stellt eine Lösung von ln(|y|) = x² + C dar (nebenbei die einzige, aber das ist irrelevant). Und nun dichtest du dieser Funktion den Wert y(0) = -1 an. Du mußt schon eine Funktion finden die NICHT die Gestalt y(x) = e^(x²/2 + C) hat und die trotzdem ln(|y|) = x² + C löst UND für die gilt y(0) = -1. Ich wiederhole, du denkst viel zu kompliziert.
Wieso denn? Das ist doch auch eine legitime Funktion, die die DGL erfüllt und nicht vollständig e^(x^2/2 + C) entspricht. Das mit dem y(x) = e^bla ist ja gerade die Umformung, die ich nicht verstehe, weil mMn. e^ln(|y|), wie du betreits sagtest nicht automatisch y, sondern erstmal nur |y| ist. Wenn für dich die Unstetigkeit ein Problem darstellt, warum löst dann y(x)= -e^(x²/2 + C) die DGL nicht
Die Lösungsfunktion muß aber nun mal differenzierbar und damit stetig sein. Das ist sie aber gerade an der Stelle x = 0 nicht.
Was spricht dann aber gegen -e^(x^2/2 +c) ?
Ich habe mitlerweile im Internet gefunden, dass das negative Ergebnis insoweit berücksichtigt wird, als dass sich dann einfach in der Konstanten der hom. Lösung K*e^(x^2/2) widerspiegelt, was aber beim Besten Willen, nicht meint, dass die einzige Lösung für
das positive ist
bloß weil es " Im Internet " zu finden ist , muss es nicht richtig sein.
Schließlich ist GF auch " im Internet "
Wie ist denn der link ?
https://www.math.kit.edu/iana2/lehre/am22013s/media/loesungen1.pdf Lösung von Aufgabe 1, bei der dem Auflösen des Betrags eine neue Konstante eingeführt wird, die plus minus die alte Konstante ist.
Ich hoffe das KIT reicht als seriöse Quelle
Danke dir, eine Nachfrage habe ich aber noch, Wenn du weiter runterscrollst, siehst du das ich die gleiche Nachfrage heute morgen schonmal gestellt habe, bisher aber keine Antwort erhalten habe. Ich hoffe, es ist kein Problem, wenn ich die Frage hier nochmal rein copy paste. Undzwar wenn ich
zu y = K * exp( 1/2 x^2) vereinfache, wobei in der Konstanten K sowohl negative als auch positive Lösung abgespeichert ist, setze ich damit nicht automatische voraus, dass das, was im Logarithmus steht, entweder
(a) immer positiv oder (b) immer negativ ist. Wenn y z.B. eine Nullstelle hätte und vom Positiven ins Negative wechseln würde, könnte, dann könnte ich doch garnicht mehr so einfach sagen, ob
oder nur
Wobei
sowieso keine Nullstelle haben kann, ob positiv oder negativ . Und Wertepickerei darf ich ja auch nicht machen (also mal Werte von
und mal welche von
nehmen, wobei diese neue Funktion die DGL lösen würde, weil das unstetig wäre, und das soll anscheinend nicht
Erübrigt sich dann die Frage?
Und danke nochmal. Ich war von einigen Antworten sehr irritiert, weil sie, so verstehe ich sie zumindest, der Meinung sind, y müsste strikt positiv sein, weil auf der rechten Seite etwas steht, was nur positiv ist, was in meinen Augen falsch gedacht ist. Daher bin ich erfreut, über jede Antwort, die die Sachen klar beim Namen nennen.