Dein Ansatz ist richtig, jedoch musst du noch nachweisen dass der Schnitt der beiden Eigenräume nur aus dem Nullelement bzw. der Null besteht. Das macht die direkte Summe aus.

Mein Ansatz:

Die beiden Eigenräume beschreiben die geraden und ungeraden Funktionen (respektive). Eine Funktion die gerade und ungerade ist, ist nur die Nullfunktion (d.h. konstant 0). Jede Funktion lässt sich zudem in einen geraden und einen ungeraden Anteil zerlegen durch:



damit würde ich jetzt (d) verwenden um zu zeigen dass auch der gesamte Raum dadurch darstellbar ist und den Rest halt noch "formal" beweisen.

Ich finde das ist etwas unpräzise formuliert.

Es gilt ja



(diese Menge wird ja unter anderem als die Menge aller Abbildung von X nach {0,1} definiert und dies lässt sich über die Indikatorfunktionen gut ausdrücken, siehe ganz rechte Menge)

wobei



jetzt prüfst du erstmal die Injektivität und Surjektivität der Abbildung:



bezeichnen wir diese Abbildung mal mit psi, dann sieht sie einfach so aus:



(damit lässt sich die Injektivität und Surjektivität einfach zeigen)

nun gilt im Allgemeinen:

Seien X,Y zwei endliche Mengen, d.h. |X|,|Y| < unendlich, dann gilt für die Menge aller Abbildung von X nach Y:



(lässt sich auch recht einfach durch etwas Kombinatorik zeigen)

da wir nun eine Bijektion vorliegen haben, muss die Mächtigkeit beider Mengen gleich sein, damit folgt die letzte Gleichheit bei dir.

Hi, du musst bei Rotation um die y-Achse die Umkehrfunktion in dem gennanten Bereich integrieren, d.h. du musst die Funktion nach x auflösen:



demnach lautet das Volumen:



Sei



dann hätte ich die gesuchte Anzahl so berechnet:



(4+2)! / (4! * 2!) = Anzahl der Vektoren mit Länge 6, wobei 2 Einträge davon Z und 4 Einträge davon B sind, zum Beispiel also (Z, Z, B, B, B, B) usw

was sagt denn die Lösung? Und vor allem wieso ist die Lösung eine Kommazahl? Müsste doch eine natürliche Zahl sein.

Hi, das LGS sieht zumindest richtig aus. Wir können das Ganze auch etwas eleganter und kompakter über die Matrix-Notation darstellen:

ich habe lediglich die Zahlen ohne die Unbekannten davor auf eine Seite gebracht und auf der anderen stehen die 3 Unbekannten, das ist einfach die Übersetzung der drei Gleichungen:

• -r +6s + 4t = 0
• 2r +6s +8t = -10
• -r + 3s +8t = 0

nun kannst du dieses über die Gauß-Elimination, Cramersche-Regel oder sonstigen Methoden lösen (dir sollte zumindest eine Methode davon bekannt sein, ansonsten verstehe nicht wie sie euch ein LGS mit 3 Unbekannten geben können....)

Bedenke: Wenn keine Lösung existiert (kann ja auch vorkommen), dann schneiden die sich gar nicht (die Gerade mit der aufgespannten Ebene in der das Dreieck enthalten ist), also trifft die Gerade auch nicht das Dreieck.

Wenn nun eine (oder mehrere Lösungen existieren) dann musst du noch folgende Bedingungen prüfen:

• 0 <= s <= 1
• 0 <= t <= 1
• 0 <= s+t <=1

meine Lösung sagt mir dass alle drei Bedingungen nicht erfüllt sind, d.h. die Gerade verläuft nicht durch das Dreieck.

Ich hoffe das hilft zumindest etwas weiter.

Hi, ich habe es mal folgendermaßen zusammengefasst

(klick drauf um ein schärferes Bild zu erhalten)

da du den Ausdruck in der Summe wegen der Linearität der Summe auseinanderziehen kannst und bereits die Formeln für die Summe der ersten ganzen Zahlen (kleiner Gauß) und die ersten Quadratzahlen kennst, solltest du damit zum Ziel kommen.

Man kann auch übrigens über den binomischen Lehrsatz und einem kleinen Trick eine etwas allgemeinere Formel herleiten

und auf ähnliche Weise

hierbei ist zu beachten, dass für den rechten Ausdruck beider Gleichungen eine explizite Formel daraus induktiv hergeleitet werden kann.

O.B.d.A sei a = max(a,b,c)

Da a,b,c > 0 und die Wurzel streng monton steigend ist, gilt:



andererseits gilt aber auch (gleiche Begründung wie eben):



wir halten fest:



die n-te Wurzel einer beliebigen positiven Zahl konvergiert immer gegen 1.

Was folgt jetzt nach dem Einschnürungssatz (oder Sandwich-Kriterium :D)?

Du meinst glaub:



Ansonsten sieht es gut aus!

a) Sieht nach einem Polynom dritten Grades aus (3 Nullstellen und Punktsymmetrisch um den Wendepunkt x = 2)

-Erste Extremalstelle bei x = 0 (da Tiefpunkt)

-Zweite Extremalstelle bei x = 4 (da Hochpunkt)

-Wendepunkt bei x = 2

-Aus dem Schaubild ergibt sich f(2) = 1

-Alternative: Betrachte den Schnittpunkt mit der Y-Achse, dort gilt: f(0) = -1 (einfach zu lösen)

Mit diesen 4 Bedingungen kannst du das Polynom bestimmen

(da ein Polynom vom Grad drei 4 Koeffizienten besitzt, brauchst du dementsprechend 4 Bedingungen)

b) Sieht nach einem Polynom vierten Grades aus (Achsensymmetrisch und könnte mit einer Verschiebung nach unten 4 Nullstellen erhalten)

Zudem können wir aus der Achsensymmetrie festhalten, dass nur gerade Exponenten auftreten, d.h. ax^4 + bx^2 + d

Dementsprechend brauchst du drei Bedingungen:

-Steigung der Tangenten bestimmt den Ableitungswert an der Stelle

-Schnittpunkt mit der Y-Achse bestimmt bereits einen Koeffizienten (f(0) = 3)

-Aus dem Schaubild: f(-1) = 3

c) Periodische Funktion, versuche mithilfe der Nullstellen und der Extremalstellen den Cosinus oder den Sinus so anzupassen, dass er den Bedingungen genügt.