Ist mein Ansatz richtig (Symmetrieeigenschaft von Stammfunktion ϕ)?

Begründen Sie unter der Zuhilfenahme der Symmetrieeigenschaft von φ (also die Gaußsche Glockenfunktion), das für alle x ∈ IR gilt:

    Φ(-x) = 1 - Φ(x)

Mein Ansatz wäre:

φ ist achsensymmetrisch und lim Φ(x) = 1. Ebenfalls ist Φ(x) punktsymmetrisch zum Punkt (0| 1/2)

Ich habe mich hier aber festgefahren. Kann mir jemand helfen?

LG

Answer 1

[Clemens1973]

Es gilt

$\Phi(-x)=\int\limits_{-\infty}^{-x}\varphi(x')\,\mathrm{d}x'=\underbrace{\int\limits_{-\infty}^\infty\varphi(x)\,\mathrm{d}x}_{=1}-\int\limits_{-x}^\infty\varphi(x')\,dx'$

Das Integral ganz rechts kann man noch umschreiben zu

$\int\limits_{-x}^\infty\varphi(x')\,\mathrm{d}x'=-\int\limits_{\infty}^{-x}\varphi(x')\,\mathrm{d}x'=\int\limits_{-\infty}^x \varphi(u)\,\mathrm{d}u=\Phi(x)$

Die zweitletzte Gleichung folgt aus einer Variablensubstitution u=-x.

Comments

[IlIIllIl]

das ist nicht =Φ(1), sondern =1. Ansonsten würde ich da auf den ersten Blick zustimmen.

[Clemens1973]

@IlIIllIl

Ja, natürlich, Du hast recht. Hab's oben noch korrigiert.

[IlIIllIl]

@Clemens1973

Perfekt, danke! Könntest du evtl. mal beim Kommentar von eterneladam vorbeischauen? Entdeckst du den Fehler, der hier gemeint wird?

[IlIIllIl]

@IlIIllIl

egal hat sich geklärt

[Clemens1973]

@IlIIllIl

OK danke. Hatte versucht noch etwas zu schreiben, aber in Kommentaren ohne Formeln ist es etwas mühsam.

Ich denke, was Du unter "rechte Seite" geschrieben hast, ist auf der ersten Zeile nicht richtig. Mit der Symmetrie wie von eterneladam angebeben kann man argumentieren:

Phi(-x)=Integral von phi von -unendlich bis -x ist gleich Integral von phi von x bis unendlich. Letzteres ist wieder gleich Integral von phi von -unendlich bis unendlich minus das Integral von phi von -unendlich bis x, also 1-Phi(x).

[IlIIllIl]

@Clemens1973

Alles gut! Aber danke für deine Mühen hast mir am meisten geholfen! Bekommst die beste Antwort ;)

[IlIIllIl]

@IlIIllIl

Ich habs mir nochmal angeguckt und das kann nicht stimmen. Dann ginge die Gleichung danach nicht auf! "Phi(-x)=Integral von phi von -unendlich bis -x ist gleich Integral von phi von x bis unendlich" würde gelten wenn die Stammfunktion punktsymmetrisch ist. Sie ist aber achsensymmetrisch.

[Clemens1973]

@IlIIllIl

Die Dichtefunktion phi(x) ist achsensymmetrisch. Die Verteilungsfunktion=Stammfunktion Phi(x) ist aber, wenn man so will, punktsymmetrisch um den Punkt (0,0.5). Es gilt ja Phi(-unendlich)=0, Phi(0)=0.5 und Phi(unendlich)=1, Phi kann also nicht achsensymmetrisch sein.

Answer 2

[eterneladam]

Das Integral von -unendlich bis -x ist wegen der Symmetrie gleich dem Integral von x bis unendlich. Berechne beide Integrale mit Verwendung der Stammfunktion Φ.

Comments

[IlIIllIl]

Und was genau soll da berechnet werden wenn ich keine Werte habe? Ich brauch lediglich eine Begründung warum das gilt.

[IlIIllIl]

@IlIIllIl

Ich hätte das jetzt so hergeleitet (s. Bild, das ich angehangen habe)

[eterneladam]

@IlIIllIl

Das ist im Ansatz genau das, was ich gemeint habe. Allerdings hast du dich bei der "rechten Seite" etwas vertan, du hast Φ(x) und 1-Φ(x) vertauscht.

[IlIIllIl]

@eterneladam

die "rechte Seite" ist also 1-Φ(x), stimmts?

[IlIIllIl]

@IlIIllIl

Nein stopp, das ist richtig. Warum sollte das vertauscht sein?

[eterneladam]

@IlIIllIl

Bei der ersten Gleichung unter "rechte Seite" muss rechts 1-Φ(x) hin.

[IlIIllIl]

@eterneladam

Stimmt hast recht :)! Mein Fehler!

[IlIIllIl]

@eterneladam

Ich habs mir nochmal angeguckt und das kann nicht stimmen. Dann ginge die Gleichung danach nicht auf!

[IlIIllIl]

@IlIIllIl

alles gut, sie geht doch auf. Hatte vergessen Klammern zu setzten als ich 1-(1-Φ(x)) gerechnet habe!

[IlIIllIl]

@IlIIllIl

Es geht doch nicht :(. Zunächst hatte ich vergessen Klammern zu setzen als ich 1-(1-Φ(x)) gerechnet habe, aber da käme lediglich Φ(x) raus. Hilfe :(

Answer 3

[HWSteinberg]

φ ist punktsymmetrisch zum Ursprung

Auch nein wie Zwieferl, aber genauer:

die Dichte φ ist y-achsensymmetrisch, φ(x)=φ(-x) (das ist in etwa Deine Zeichnung), und deren Integral, die Verteilungsfunktion Φ, ist punktsymmetrisch zum Punkt (0;1/2).

Ansonsten stimme ich der Antwort von Clemens1973 zu.

Answer 4

[KunXz]

Die Standard-Normalverteilung besitzt die Dichtefunktion phi(x):

$\phi (x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}x^2}$

und diese ist eine achsensymmetrische Funktion, d.h.

$\phi (x) = \phi (-x)$

damit folgt nun für die Verteilungsfunktion Phi(x) mit Hilfe der Substitution y = -u und unter Ausnutzung der Achsensymmetrie

$\Phi (x) = \int_{- \infty}^{x} \phi (y) dy = \int_{\infty}^{-x} - \phi (-u) du = - \int_{\infty}^{-x} \phi (u) du$

weiterhin gilt

$- \int_{\infty}^{-x} \phi (u) du = \int_{-x}^{\infty} \phi (u) du$

d.h. also:

$\Phi (x) = \int_{-x}^{\infty} \phi (u) du$

und damit schlussendlich

$\Phi (x) + \Phi (-x) = \int_{-x}^{\infty} \phi (u) du + \int_{- \infty}^{ - x} \phi (u) du = \int_{- \infty}^{ \infty} \phi (u) du = 1$

beachte hier:

• Phi(x) ist hier was ich eben gezeigt habe
• Phi(-x) ist einfach die Definition der Verteilungsfunktion