mithilfe der Taylorreihe für ln auch für negative werte reeele werte bekommen?
Ich habe ein wenig rumexperimentiert mit der tayllorreihen entwicklung vom nätürlichen Logarithmus..
Die Taylorreihe lautet ln(1+t)=t-1/2t^2+1/3t^3-1/4t^4...
für t=1 ist das einfach ln(2) und der ist bei 0.692...
Nun habe ich für t mal -1 eingesetzt und erhalte dann dementsprechend den ln(0).
und da in der Taylorrreihe alles aufgrund des negativzeichens alles "flippt" ist am Ende der Grenzwert -0.692... also -ln(2) rausgekomen..
Jetzt müsste man, wenn man t<= -2 wählt, so auch reele werte für negative werte erhalten,oder nicht?
3 Antworten
ln(0) ist nicht definiert.
Wenn man bei ln(1+t) den (rechtsseitigen) Grenzwert für t gegen -1 betrachtet, erhält man -Unendlich.
Genauso divergiert die Taylorreihe für t = -1 gegen -Unendlich. (Die Reihe ist dann das negative von der harmonischen Reihe.)
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"[...] und da in der Taylorrreihe alles aufgrund des negativzeichens alles "flippt" ist am Ende [...]"
Bedenke: (-1)^2, (-1)^4, ... sind jeweils 1, nicht -1. Hier dreht sich das Vorzeichen im Vergleich zu t = 1 nicht um, so dass man NICHT ln(1 + (-1)) = - ln(1 + 1) erhält.
Für negative Werte erhältst du in der Regel komplexe Zahlen als Ergebnis. Das ist erstmal nicht trivial. ln(0) ist selber undefiniert (betrachte den Grenzwert von e^x mit x -> -inf).
Bedenke, dass bei den Potenzen mit geradem Exponenten das Vorzeichen nicht umgekehrt wird. Entsprechend hat jeder Summand ein negatives Vorzeichen und für t=-1 erhälst du somit die negative harmonische Reihe, welche divergiert.