Wie kann ich die o-Notation auf das Restglied im Satz von Taylor übertragen?
Hallo liebe Community,
bin gerade ein wenig verwirrt beim Durchgehen der Altklausurbeispiele, da bei manchen Aufgaben bei der Abschätzung mit Hilfe des Satzes von Taylor folgendes steht:
z. B. In der N¨ahe von x = 0 ist die Funktion r(x) = 2x/(2 + x)
eine rationale Approximation fur ln(1 + x).
Zeigen Sie mittels Entwicklung nach Potenzen von x:r(x) − ln(1 + x) = C x3 + O(|x|^4)
(also groß O_Notation (wobei in der Klammer die nächsthöhere Potenz steht)
Bei anderen Aufgaben jedoch:
Für welche Werte des Parameters ¨ c ∈ R ist die Funktion f(x) =
1 + x c differenzierbar an der Stelle x = 0? Geben Sie für die betreffenden Werte von c auch a, b ∈ R (abhängig von c) an, so dass gilt
f(x) = a + b x + o(|x|) für x → 0.
Lösung: f ist für alle ¨ c ∈ R differenzierbar an der Stelle x = 0
x=0 = c ⇒ f(x) = f(0) + f0(0) · x + o(|x|) = 1 + c x + o(|x|) fur x
(Hier steht die klein o-Notation verbunden mit der gleichen Potenz wie das vorherige Glied)
Auf Wiki hab ich gefunden, dass Groß O äquivalent dazu ist, dass f nicht wesentlich schneller wächst, und klein o bedeutet, dass g(x) schneller wächst, aber mir ist dennoch nicht klar, wie ich das auf den Taylor übertragen kann/sollte?
Wäre über jeden Vorschlag sehr dankbar!
1 Antwort
Bei Taylor berechnet man ein Restglied, in dem der Term (x-x0)^n vorkommt (n je nachdem, wie weit man die ursprüngliche Funktion entwickelt). Der Fehler des Taylorpolynoms nimmt in der Regel mit dem Abstand vom Entwicklungspunkt x0 zu, und man will diesen Fehler nach oben abschätzen. Hier bietet sich die gross-O-Notation an, wenn man eine Konstante finden kann, so dass das Restglied <= C |x-x0|^n = O((x-x0)^n).
In deinen zweiten Beispiel geht es um das Verhalten sehr nahe bei einem Punkt, oder sogar im Limes auf diesen Punkt. Hier kann man auch mit gross-O arbeiten, findet aber vielleicht eine bessere Abschätzung, die man dann in klein-O formuliert. Im Beispiel geht der Fehler schneller gegen Null als |x|.
Schau den Wikipedia Artikel einmal ganz durch, insbesondere "Notation" und "Beispiele und Notation". Bei deinem Beispiel kommt es sehr darauf an, dass das für x gegen 0 gelten soll, und es ist dann ln(1+x²)=x²+o(|x|³), da das Restglied der Reihenentwicklung von der Ordnung (x²)² ist, siehe dazu https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Potenzreihe, und x⁴ schneller gegen Null geht als x³.
Und vor allem habe ich jetzt noch ein Beispiel gefunden:
Ist die folgende Aussage wahr oder falsch: Es gilt für den ln(1+x^2)=x+o(|x|^2)
Was im Prinzip sehr ähnlich zur zweiten Aussage wäre, der Unterschied jedoch im Inneren von o(..) liegt...
Wäre die Aussage deiner Meinung nach richtig oder falsch?
Vielen lieben Dank schon einmal!
Vielen lieben Dank schon einmal! Mir wurde jetzt endlich der Unterschied zwischen den beiden Beispielen klar! Das Einzige, was noch ein wenig Verwirrung stiftet, ist die Vereinbarung der Definition von gross-O(g(x))=f(x) (bei der laut Wiki f(x) (nicht wesentlich) schneller wachsen sollte) mit der Aussage Restglied kleiner gleich C(x-xo)^n würde hier dann nicht eig das Restglied laut groß-O Definition schneller wachsen?