Lineare Algebra Mengenlehre? Schnittmenge bestimmen?

Untersuchen Sie die folgenden Mengen unter Verwendung von A = B ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) für zwei Mengen A und B auf Gleichheit:

(i) A = {z ∈ Z | es existiert ein m ∈ Z mit z = 7m + 4}, B = {z ∈ Z | es existiert ein m ∈ Z mit z = 7m − 3},

(ii) A = {z + z 0 ∈ Z | z, z0 ∈ Z}, B = {2z ∈ Z | z ∈ Z},

(iii) A = {(x, y) ∈ Q × Q | x + y = 3 und x − y = −5}, B = {(−1, 4)}.

Ich habe keine Ahnung wie ich bei solchen Aufgaben vorgehen muss. Könnt ihr mir für den Anfang helfen

Answer 1

[Stnils]

Die Idee, um die Gleichheit von zwei Mengen A und B zu zeigen ist, wie du schon richtig geschrieben hast, zu zeigen, dass A eine Teilmenge von B und B eine Teilmenge von A ist.

D.h. um A ist Teilmenge von B zu zeigen, nimmst du ein beliebiges Element aus A und zeigst, dass es auch in B liegt.

Am Beispiel der ersten Aufgabe:

A ⊂ B :

Sei z ∈ A. Dann existiert ein m ∈ Z mit z =7m + 4.

Wähle m' = (m+1)∈ Z. Dann ist z = 7m' - 3∈ B.

Analog für B ⊂ A :

Sei z ∈ B. Dann existiert ein m ∈ Z mit z =7m - 3.

Wähle m' = (m-1)∈ Z. Dann ist z = 7m' + 4 ∈ A.

Answer 2

[eddiefox]

Hallo,

als Starthilfe die (i):

Sei z ∈ A , d.h. es existiert ein m ∈ ℤ mit z = 7m + 4.

Wir definieren m' := m + 1 , also m = m' - 1. Dann gilt

z = 7m + 4 = 7(m' - 1) + 4 = 7m' -7 +4 = 7m' - 3.

Es gibt also ein m' ∈ ℤ mit z = 7m' - 3, d.h. z ∈ B.

Wir haben gezeigt: aus z ∈ A folgt z ∈ B , und das ist äquivalent mit A ⊂ B.

Sei umgekehrt z ∈ B , d.h. es existiert ein m ∈ ℤ mit z = 7m - 3.

Wir definieren m' := m - 1 , d.h. m = m' + 1 . Dann gilt

z = 7(m ' + 1) - 3 = 7m' + 7 - 3 = 7m' + 4 , d.h. z ∈ A .

Wir haben gezeigt: aus z ∈ B folgt z ∈ A , und das ist äquivalent mit B ⊂ A .

Insgesamt: A ⊂ B ∧ B ⊂ A <=> A = B .

Jetzt versuche mal, ob du mit den beiden anderen weiterkommst.

Gruß

Comments

[eddiefox]

Aufgabe 4b:

Zu einer fast gleichen Aufgabe [ (P(M),Δ ,∩) ist ein Ring ] habe ich vor ein paar Monaten einen Lösungsvorschlag gegeben, da kannst du was "abstauben".