Mächtigkeit von Mengen - Analysis?
Hallo GuteFrage-Community,
ich bräuchte eure Hilfe bei Aufgabe 3 und 4. Aufgabe 1,2,5,6 und 7 waren gut lösbar (Injektion, Surjektion, Komposition, usw.). Aber bei Aufgabe 3 und 4 fehlt mir jeder Ansatz, vor allem, weil einige Mitstudenten den Stoff aus Linearer Algebra schon kennen (ich habe linalg nicht) und unser Professor in Analysis das nicht sehr gut behandelt hat.
Danke schonmal für eure Hilfe.
2 Antworten
Wenn du bereits was über Kardinalzahlen weißt, dann ist's klar, denn |M u A| = | M | + | A | = max {|M|,|A|} = |M|
Nachzulesen hier: https://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_grundlagen_mathematik_ss_2020/07_kardinalzahlen.pdf
Wenn das nicht bekannt ist, musst du eben eine Bijektion definieren. Dazu kannst du z.B. eine solche wie hier verwenden:
Diese Konstruktion sollte sowohl für (a) als auch für (b*) funktionieren.
Bei (c) ist der Hinweis eigentlich eh alles, was du brauchst. Du argumentierst mit f(x) = 1/x - 1, dass [0,1] alle Zahlen aus IR+ erreicht und nimmst dann den g(x) = log(x), um alle Zahlen aus IR zu erreichen. D.h. g°f = log(1/x-1). Und dann noch zeigen, dass du das für beliebige Intervalle machen kannst.
Bei 4) ist die erste Aufgabe eigentlich trivial. Wenn sigma surjektiv ist, dann gilt | M | <= | IN | und damit ist M höchstens abzählbar. D.h. M ist entweder endlich oder abzählbar, aber ersteres ist ja ein Widerspruch zu M unendlich.
Kardinalzahlen okaya, aber den Logarithmus müsstest du verwenden dürfen. Immerhin lernt man den schon in der Schule.
Aber du kannst statt dem Logarithmus auch mit dem Arkustangens arbeiten.
Dürfen wir auch nicht. Kennen tu ich das alles aus der Schule, aber solange es der Prof nicht "sauber eingeführt" hat, dürfen wir es nicht verwenden. Aber ich hab es mittlerweile einigermaßen hinbekommen. Mal schauen, ob ich es morgen noch sauberer aufschreiben kann.
Hi Lukas
Ich kann aufgaben 1,2, 5,6 und 7 nicht finden
Die hatte ich damals vorher schon selbstständig gelöst. Mittlerweile habe ich auch eine Lösung für Aufgabe 3 und 4 geschrieben mit der ich recht zufrieden bin :) Danke trotzdem
Danke für deine ausführliche Antwort. Dinge wie Kardinalzahlen oder den Logarithmus haben wir noch nicht definiert, was die ganze Sache sehr erschwert. Aber es war schon sehr viel wichtiges in deiner Antwort dabei.