Äquivalenz von verschiedenen Normen - Lineare Algebra?
Hallo,
diese Aufgabe muss ich bis Freitag lösen und leider habe ich keinen Ansatz. Über jegliche Hilfe, die mich ein Stück näher an die Lösung bringt, bin ich sehr dankbar.
Vielen Dank :)
2 Antworten
Hallo,
mir fällt es schwer, dich mit Hinweisen auf die Fährte zu bringen.
Deshalb anbei ein Lösungsvorschlag, den du gegebenenfalls noch etwas ausformulieren kannst, damit du ihn verstehst.
Alle Summen gehen von 1 bis n.
Zur Aufgabe a)
Man kann folgende Ungleichung aufstellen:
sei v ∈ ℝⁿ ein beliebigiger Vektor.
||v||∞ = max | vᵢ | ≦ √(∑| vᵢ |²) = ||v||₂ ≦ n•max | vᵢ | = n•||v||∞,
also
1•||v||∞ ≦ ||v||₂ ≦ n•||v||∞
Die gesuchten Konstanten c und C sind hier also 1 und n.
Zu b)
Sei {eⱼ} j=1,...,n die kanonische Basis des ℝⁿ.
Zu zeigen ist, dass es zu jeder Norm || . || eine Konstante C gibt (ich lasse mal die 3 weg), so dass die Ungleichung gilt. Die Konstante C hängt von der Norm || . || ab !
Es gilt
||v|| = || ∑vᵢ eᵢ || ≦* ∑ || vᵢ eᵢ || = ∑ | vᵢ | || eᵢ || ≦ max | vᵢ | ∑ || eⱼ ||
≦ ||v||∞ • n•max || eⱼ || = ||v||∞ • C mit C = n•max || eⱼ ||
*Dreiecksungleichung
Gruß
Bei uns war das Analysis (in der linearen Algebra hatten wir bis jetzt noch gar nichts mit Normen zu tun). Die a ist erstmal nicht schwer. Dass ||*||_inf <= ||*||_2 ist, ist nicht schwer zu zeigen und dürfte auch relativ klar sein (sollten drei Zeilen im Beweis sein). Um die Umkehrrichtung zu zeigen, hilft es, die Gleichung zu quadrieren und dann zu bedenken, dass jedes |x_i| in deinem Vektor aus IR^n kleiner/gleich dem Maximum der |x_i| deines Vektors ist. Die b ist da schon interessanter. Betrachte die Normwerte der Vektoren der kanonischen Basis von IR^n. Diese schränken die gesamte Norm "indirekt" nach oben ein (d.h. deine Norm kann immer noch nach unendlich gehen, aber du kannst abhängig von deinem Vektor sagen, wie groß deine Norm MAXIMAL wird, und zwar abhängig von den Vektorkoordinaten und der Normwerte der Basisvektoren). Das folgt wiederum aus der Dreiecksungleichung und den Eigenschaften der Basis (statt der kanonischen Basis kannst du auch jede andere nehmen, aber die kanonische ist natürlich am intuitivsten). Wie das funktioniert und wie du von da auf eine Konstante für die Beschränktheit bzgl. der Maximumsnorm kommst, solltest du selber rausfinden.