Ich bin im ersten Semester und finde den Einstieg nicht in die Lineare Algebra, hat jemand einen Einstieg für mich oder kann es mir sogar erklären?

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4 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Hallo,

als Beispiel mal Aufgabe 1 auf dem dritten Blatt.

Da geht es um Mengen und Teilmengen.

Die Teilmenge B einer Menge A ist eine Menge, die nur Elemente enthält, die auch Elemente der Menge A sind.

Hat Teilmenge B weniger Elemente als Menge A, handelt es sich um eine echte Teilmenge, hat sie alle Elemente, die auch in A sind (und natürlich kein zusätzliches), handelt es sich um eine unechte Teilmenge.

Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

Elemente einer Menge zählen immer nur einmal. Die Menge {2;2} ist daher identisch mit der Menge {2}.

Das als Vorbemerkung.

Menge X, von der die Mengen A bis D Teilmenge sind, besteht aus den natürlichen Zahlen 1 bis 30.

Das ℕ ist dabei die Menge der natürlichen Zahlen. Das sind positive ganze Zahlen, mit denen man in der Grundschule konfrontiert wird und mit denen man Dinge zählt.

Zu lesen ist X={xϵℕ|x≤30} folgendermaßen:

Die Menge X besteht aus allen x aus der Menge der natürlichen Zahlen, für die gilt:

x ist kleiner oder gleich 30.

Du setzt für x also jede natürliche Zahl von 1 bis 30 ein und fügst sie als Element der Menge X hinzu. Stell Dir die Menge X als ein Gatter vor, in dem die Zahlen 1; 2; 3 usw. bis 30 herumtollen.

Nun kommst Du zur Teilmenge A:

In diese Teilmenge gehören nur Zahlen zwischen 1 und 30, die bestimmte Bedingungen erfüllen: Sie gehören der Menge X an.

Sie sind die Lösung der Gleichung y²=x, wobei auch y ein Element von X, also eine natürliche Zahl zwischen 1 und 30 ist.

Wenn dieses y quadriert wird, entsteht eine Zahl x, die ebenfalls aus der Menge X stammt.

Das trifft längst nicht für alle y aus der Menge X zu.

Nimmst Du zum Beispiel y=10, so gehört zwar die 10 zur Menge X, aber 10², nämlich 100, nicht mehr, denn 100 ist eindeutig größer als 30.

Kurz: In die Teilmenge A gehören nur die Elemente aus X, die Quadrate der Zahlen zwischen 1 und 30 sind und dazu selbst nicht größer als 30.

Da gibt es nur 1; 4; 9; 16 und 25, also alle Quadratzahlen von 1² bis 5².

Die Menge A sieht also so aus: A={1;4;9;16;25}

Was gilt für Menge B?

In Menge B sind alle Zahlen x aus Menge X, die Ergebnis einer Addition zweier Zahlen y und z aus der Menge X sind.

Das wären dann die Zahlen zwischen 2 und 30.

Alle diese Zahlen kannst Du in zwei Summanden zwischen 1 und 30 aufteilen.

Die 1 gehört nicht dazu, weil die 1 unmöglich eine Summe aus zwei natürlichen Zahlen zwischen 1 und 30 sein kann.

Selbst wenn y die kleinste mögliche Zahl aus X, nämlich 1 ist, findest Du keine Zahl z aus X, für die gilt: 1+z=1, denn dann müßte z gleich 0 sein - und 0 ist kein Element der Menge X.

Menge B besteht also aus den natürlichen Zahlen zwischen 2 und 30.

Menge C besteht aus allen Zahlen zwischen 1 und 30, die um 1 höher sind als ein Vielfaches von 8. Das wären dann die 9, die 17 und die 25. Die nächste Zahl, 33, gehört nicht mehr zu X.

Menge D besteht aus den Primzahlen, die zwischen 0 und 30 zu finden sind:

D={2;3;5;7;11;13;17;19;23;29}.

Damit wären die Mengen A bis D festgelegt.

Nun gilt es, Schnittmengen und Vereinigungsmengen aus ihnen zu bilden.

Eine Vereinigungsmenge zweier Mengen besteht aus allen Elementen beider Mengen, wobei doppelte Elemente nicht aufgeführt werden.

Die Vereinigungsmenge der Mengen E={2;3} und F={3;5} wäre E U F={2;3;5}.

Eine Schnittmenge besteht nur aus den Elementen, die den Mengen, deren Schnitt sie bildet, gemeinsam sind.

Die Schnittmenge aus E und F wäre E ∩ F={3}, denn nur die 3 findet sich sowohl bei E als auch bei F.

(A ∩ B) U (C ∩ D) wäre demnach die Vereinigung der Schnittmenge von A und B auf der einen Seite sowie C und D auf der anderen.

Du bildest also zunächst die Schnittmengen von A und B sowie von C und D und vereinigst dann alle Elemente aus diesen beiden Schnittmengen zu einer neuen Menge:

Zu Menge A gehören die Quadratzahlen von 1 bis 25, zu Menge B alle Zahlen von 2 bis 30.

Gemeinsam sind den beiden Mengen die Quadratzahlen 4;9:16 und 25.

Die 1 entfällt, weil sie zwar zu Menge A, aber nicht zu Menge B gehört-

(A ∩ B)={4;9;16;25}

Entsprechend haben C und D nur die 17 gemeinsam, denn Menge C besteht aus den drei Elementen 9; 17 und 25 und Menge D aus den Primzahlen zwischen 2 und 29.

Die einzige Primzahl in Menge C ist die 17.

Daher:

(C ∩ D)={17}.

Somit kommt zur Schnittmenge von A und B noch die Schnittmenge von C und D dazu, die als einziges Element die 17 hat:

(A ∩ B) U (C ∩ D)={4;9;16;17;25}.

Du siehst: Es ist nicht so furchtbar schwierig, wenn Du Dich einmal an die Symbolschreibweise gewöhnt hast.

Ein nützliches Buch für den Anfang ist das Buch von Kevin Houston:

Wie man mathematisch denkt

Es ist im Springer Verlag erschienen und macht Dich vertraut mit der formelhaften Sprache der Mathematiker; zeigt, wie man dumme Fehler vermeidet, die die Professoren verärgern, erklärt, was Mengen sind, wie Aussagenlogik funktioniert, welche Arten von Beweisen es gibt und wie man sie führt.

Sieh zu, daß Du Dich einer Lerngruppe anschließt und mache Dich möglichst rasch mit Mengen, Summen, Beweisführungen vertraut.

Sieh zu, daß Du fit bist in den Grundlagen wie Wurzeln, Potenzen und Logarithmen, Äquivalenzumformungen, binomischen Formeln etc.

Das ist Handwerkszeug, ohne das Du kein Bein auf den Boden bekommst.

Eine gute Überleitung von der Schulmathematik zur Unimathematik bieten die Bände von Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, in denen Du viele gut nachvollziehbare Erklärungen und durchgerechnete Beispiele findest.

Etwas formelhafter, aber noch halbwegs verständlich ist der Band von Tilo Arens und anderen: Mathematik.

Laß Dich nicht entmutigen: Am Anfang haben alle Probleme.

Unimathematik und Schulmathematik sind verschiedene Paar Schuhe.

Viel Erfolg,

Willy

Schulmathematik und Unimathematik verhalten sich ungefähr so zueinander wie ein Fahrschulgolf und ein 40-Tonner mit Doppel-H-Schaltung und zwei Anhängern hinter der Zugmaschine.

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Erstmal vielen lieben Dank für diese selten unglaublich gute Erklärung!

Unterrichten Sie? Weil da ist definitiv eine große Gabe vorhanden. Ich bin verblüfft wie einfach das doch zu verstehen ist. Die Lehrer an der Uni haben es zwar auch erklärt aber da hatte man einfach das Gefühl mit leeren Händen nach Hause zu gehen.

Die Bücher werde ich mir alle kaufen. Da lasse ich mir sehr gerne Tipps von Ihnen geben.

WIe hieß es?....Wenn man etwas nicht einfach erklären kann, hat man es nicht gut genug verstanden. - Einstein?

Also vielen lieben Dank dafür. Ich würde am liebsten weiter fragen. Aber ich habe überlegt, dass ich einfach für jede Aufgabe ein neuen Post erstelle.

Weil es schade wäre für so viel Mühe nur einen Stern zu vergeben.

Und wenn ich sonst noch Ihre Arbeit irgendwie unterstützen kann dann würde ich es ebenfalls tun.

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@LegoSanDiego

Ich bin kein Lehrer, habe auch beruflich mit Mathematik nie irgendetwas zu tun gehabt.

Ich finde die Mathematik einfach nur interessant und beschäftige mich damit völlig zweckfrei.

Die meisten Profs würde ich wahrscheinlich auch nicht verstehen. Vieles von dem, was ich heute weiß, habe ich mir aus Büchern zusammengesucht und versucht, es mir selbst zu erklären.

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@Willy1729

Das hätte ich niemals erwartet!

Und echt schade, dass wir sie nicht bei uns haben sagt auch eine Mitstudentin gerade, der ich Ihre Erklärung ebenfalls gezeigt habe.

Wie unglaublich wäre das wenn Sie zu uns an die Uni kommen würden um zu unterrichten.

Jemand der es aus Leidenschaft tut ist viel sinnvoller im beibringen und lehren von Sachen.

Ich habe jetzt schon mehr Respekt und schenke Ihnen mehr Anerkennung als den meisten Lehrern bei uns.

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@LegoSanDiego

Vielen Dank für das Kompliment. Aber ein Dozent an der Uni hat wesentlich mehr drauf als ich. Bei den Arbeitsblättern, die Du hochgeladen hast, steige ich gerade noch durch mit Mühe. Ich habe mich eben eine ganze Weile mit Aufgabe 2 von Blatt 2 beschäftigt und nach langem Überlegen den Beweis hinbekommen.

Aber Ihr steht noch ganz am Anfang. Ein, zwei Semester weiter - und ich bin mit meinem Latein am Ende. Was könnte ich Euch dann noch beibringen?

Es würde bestenfalls reichen, den Spagat zwischen Schule und Uni überwinden zu helfen, sprich: Schulstoff zu wiederholen und die Anfangsgründe der Unimathematik - soweit ich sie selbst verstanden habe - ein wenig zu erklären.

Das war's dann aber auch. Natürlich hätte ich Spaß daran, eine Art Brückenkurs für Erstsemestler anzubieten - aber welche Uni sollte mich nehmen?

Ich habe Theologie studiert, bin pensioniert und verdiene ein bißchen als Busfahrer (Kleinbus) dazu - die würden sich scheckig lachen.

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@Willy1729

Ich meinte Aufgabe 3 von Blatt 2. Aufgabe 2 ist relativ einfach.

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Vielen Dank für den Stern.

Willy

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@Willy1729

Huhu,

eine Frage noch zu dem Buch "Wie man mathematisch denkt" von Kevin Houston.

Da gibt es ja viele Aufgaben am Ende einer Erklärung, die muss man lösen. Aber gibt es irgendwo Lösungen? Bzw. wie findet man heraus ob es dann richtig von mir gelöst wurde? Muss es nicht irgendwo Lösungen für die Aufgaben geben?

Und das Buch ist echt Klasse, da wird so einiges richtig gut erklärt.

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@LegoSanDiego

Ich glaube, dazu gibt es keine Lösungen, es sei denn, Du wirst auf der Website fündig.

Da ein Grundsatz des Autors allerdings lautet: Wenn du die Übungsaufgaben nicht lösen kannst, hast du das Thema nicht verstanden, ist sein Konzept wohl eher, daß man sich mit einem Thema so lange beschäftigt, bis man die Aufgaben lösen kann.

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@Willy1729

Okey...das ganze ist auf jeden Fall eine harte Nuss. Ich hänge mich weiterhin sehr ins Zeug :D

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Schau dich am besten mal nach Tutorien in deinem Studiengang um oder sprich deine Kommilitonen an, ob sie Lust haben, eine Lerngruppe zu gründen.

Du wirst wahrscheinlich im Studium noch öfter auf solche oder ähnliche Probleme stoßen (was völlig normal ist) und dann ist es besser, das gemeinsam vor Ort mit denen zu klären, die vor ähnlichen Fragen stehen oder den Stoff schon mal behandelt haben.

Beste Grüße und viel Erfolg!

Hallo,

für Blatt zwei hier ein Lösungsvorschlag für die Aufgaben 1) und 3).

Bei Aufgabe 3 muss man ein bisschen "fummeln". Wer die Summenschreibweise nicht gewohnt ist, dem wird die Aufgabe sicher nicht so leicht fallen.

Ich hoffe, ich habe keine Tippfehler ...

Gruss

 - (Schule, Mathematik, Universität)  - (Schule, Mathematik, Universität)

Und natürlich ein Tippfehler... ^^

Aufgabe 3, vorletzte Zeile, erster Bruch, im Zähler ist ein Vorzeichenfehler:

(N+1)(2N+2) + (N+1)(2N+1) + (2N+1)(2N+2)

ersetzen durch

(N+1)(2N+2) + (N+1)(2N+1) - (2N+1)(2N+2)

Vor dem 3. Produkt muss ein Minuszeichen stehen.

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Blatt 3 Aufg. 2)

Behauptung, es gilt:

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) 

Ihr solltet die grundlegenden Gesetze der Mengenoperationen in der Vorlesung bewiesen haben (Kommutativgesetze, Assoziativgesetze):

X ∩ Y = Y ∩ X ,

(X ∩ Y) ∩ Z = X ∩ (Y ∩ Z)

desgleichen für die Vereinigung, und die Distributivgesetze

X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y) ∩ (X ∪ Z) , und

X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y) ∪ (X ∩ Z)

Sei

E := (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

Die ersten beiden Klammern nennen wir M:

Sei M:= (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) , dann gilt

E = M ∪ (B ∩ C) = "Distributivgesetz"

(M ∪ B) ∩ (M ∪ C) = "M ersetzen"

( [ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ] ∪ B ) ∩ ( [ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ] ∪ C )

Es gilt (A ∩ B) ∪ B = B , (A ∩ C) ∪ C = C , also

E = ( (A ∩ C) ∪B ) ∩ ( (A ∩ B) ∪ C ) = "Distributivgesetz, Kommut."

( (B ∪ A) ∩ (B ∪ C) ) ∩ ( (C ∪ A) ∩ (C ∪ B) ) ="Assioz.+ Kommut.gesetz"

(A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = "Kommutativg."

(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ∩ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ,

weil (B ∪ C) ∩ (B ∪ C) = (B ∪ C) (weil X ∩ X = X)

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Falls es dir hilft : Nichts davon kommt in der Schule vor.

Die Mengenlehre schon. Auch de vollständige Induktion wird im Schulunterricht behandelt. Die formelhafte Sprache allerdings kennt man als Schüler so nicht.

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