Genauer Unterschied von einer Existenzaussage und Allaussage (Mengenlehre, Logik)?

4 Antworten

Das Äquivalent zu "∀ x ∈ ∅ : F(x)" ist "¬∃ x ∈ ∅ : ¬F(x)" 

Beispiel:
Für jeden Menschen aus der Menge der Menschen gilt: Der Mensch wurde geboren.
Es gibt nicht einen Menschen aus der Menge der Menschen, für den gilt: der Mensch wurde nicht geboren.

Du hast also falsch verneint.

Die Verneinung der ersten Aussage müsste sein

Für nicht Alle Elemente der leeren Menge gilt: jenes (ohne nicht)

Beispiel

Für alle Elemente x der leeren Menge gilt: "x ist doof"

äquivalent zu

Es gibt nicht ein x aus der leeren Menge, für das gilt: "x ist nicht doof"
____________

PS: Mit ¬∃ meine ich ∄

es existiert nicht ein = es existiert kein

Als Programmierer bringe ich mal ein Beispiel aus meinem eigenen Fach:

Bei den (aus heutiger Sicht primitiven) BASIC-Dialekten, die es zu meiner Kindheit gab, wurde eine FOR-Schleife immer mindestens einmal durchlaufen:

10: PRINT "Vorher"
20: FOR I = 3 TO 2
30: PRINT I
40: NEXT I
50: PRINT "Nachher"

ergab die Ausgabe

Vorher
3
Nachher

Daraus können wir schließen, dass die Schleifenbedingung erst am Ende der Schleife ausgewertet wird.

In Visual Basic (VB(A) 6; .NET ähnlich):

Debug.Print "Vorher"
For i = 3 To 2
Debug.Print i
Next
Debug.Print "Nachher"

ergibt die Ausgabe

Vorher
Nachher

Daraus können wir schließen, dass die Schleifenbedingung schon am Anfang der Schleife ausgewertet wird.

Interessanter wird es, wenn man indiziert auf ein "Array" mit N Elementen zugreift:

150: FOR I = 0 TO N - 1
160: PRINT A$(I)
170: NEXT I

führt bei N = 0 zu einem Fehler, wenn A$() nicht wenigstens 1 Element (das den Index 0 hat) enthält. (Auf die Schwierigkeit, dass manche BASIC-Dialekte Indizes auch noch bei 1 beginnen ließen, will ich hier nicht eingehen.) Man muss also vorher prüfen, ob N > 0 ist.

Hingegen ist es überhaupt kein Problem,

For i = 0 to n - 1
Debug.Print a$(i)
Next

ausführen zu lassen, selbst wenn a$ ein leerer Bereich ist.

-----

Die erste Implementation einer FOR-Schleife entspricht der scholastischen Auffassung, dass man "für alle" nur sagen kann, wenn es auch "mindestens eins" gibt.

Die zweite Implementation, bei der man keinen Fehler machen kann, wenn der Bereich der Schleife leer ist, entspricht der Auffassung der modernen Mathematik, dass man keine falsche Aussage über ein Element machen kann, wenn der Bereich der Aussageform leer ist.

Wesentlicher Unterschied

(1) Existenzaussage mit der leeren Menge:

∃ x ∈ Ø: x ∈ B

(2) Allaussage mit der leeren Menge:

∀ x ∈ Ø: x ∈ B

---

Der wesentliche Unterschied besteht darin, das in (1) behauptet wird es existiert ein Element in der leeren Menge. Das ist absolut falsch.

In (2) wird nicht konkret besagt das die leere Menge ein Element besitzen muss. Es wird lediglich gesagt das wenn diese Elemente enthalten wären, gilt. Nicht aber das sie enthalten sein müssen.

-> Man kann also ohne Probleme behaupten in (2) das dies gilt, da eben kein Element existiert was dies widerlegen könnte.

---

Beispiel

(2.1) "Für alle Partikel im leeren Beutel gilt: die Partikel sind grün."

Dies wäre gerade (2). Da keine Partikel im leeren Beutel enthalten sind, kann man ohne weiteres behaupten die Partikel sind grün.

(2.1) heißt ja nichts anderes als, wenn Partikel im leeren Beutel enthalten wären, sind sie grün.

---

Bei Fragen kommentieren.

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