Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind?

Hallo,

ich hänge bei dir Folgenden Aufgabe fest kann mir da jemand weiterhelfen?

Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

i) f ist injektiv.

ii) Für alle Mengen A, B ⊂ X gilt : $f(A)∩f(B)⊂f(A∩B).$

iii) Für alle Mengen A ⊂ X gilt : $f(Ac)⊂f(A)c$

danke schon einmal :)

Comments

[Jangler13]

Hast du denn schon ein Ansatz, oder hängst du an was bestimmten fest?

[nadelholz603]

ich versteh nicht ganz in welchem sinne die Aussagen äquivalent sind

Answer 1

[LUKEars]

also du könntest zeigen, dass aus (i) nämlich (ii) folgt und dass daraus dann (iii) folgt und das daraus (i) folgt... also drei Implikationen.... das dürfte genügen...

nehmen wir mal die Def von „injektive Fkt.“: https://de.wikipedia.org/wiki/Injektive_Funktion $\bigvee_{x_1,x_2}f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$

und (ii) bedeutet: wenn in f(A) ein Wert ist, der auch in f(B) ist, dann muss dieser Wert aus der Abbildung der Schnittmenge von A und B stammen, weil die Gleichheit des Wertes zwingend auf die Gleichheit der Stelle der injektiven Funktion schließen lässt (das steht ja grad in der Definition)...

kannst die anderen beiden Beweise jetzt selbst?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Absolvent/Universität

Answer 2

[eterneladam]

Man zeigt, dass (i) --> (ii), (ii) --> (iii) und (iii) --> (i), soweit hat LUKEars recht.

(i) --> (ii)

Sei x aus f(A) und aus f(B), dann ist x= f(a) und x = f(b) für geeignete a aus A und b aus B. Also ist f(a) = f(b), damit nach Voraussetzung a = b, und x ist aus f(AnB)

(ii) --> (iii)

Wähle B = Ac, dann ist n.V. f(A) n f(Ac) Teilmenge von f(A n Ac), was die leere Menge ist. Also ist f(A) n f(Ac) leer, d.h. f(Ac) muss Teilmenge von f(A)c sein.

(iii) --> (i)

Seien a und b gegeben, b <> a, also b aus {a}c. Dann ist n.V. f({a}c) Teilmenge von f({a})c. Insbesondere ist f({b}) Teilmenge von f({a})c, also f(b) <> f(a), also f injektiv.