Ist x Element leere Menge widerspruchsvoll
Hallöchen ich habe eine mathematische Frage:
Ist x Element {} widerspruchsvoll? Denn ich benötige eine Menge die Formal
{xy|x in A und y in B} ist. Nun habe ich für A die leere Menge und weiß nicht, ob an der Stelle nun {y in B} oder {} rauskommt.
Gruß,
Jitzo
3 Antworten
Wenn ich das richtig sehe, hast du
M := { xy | x ∈ A ∧ b ∈ B }, also die Menge aller Produkte von Elementen von A und B, ja?
Wenn da A = ∅ (oder B = ∅) gilt, dann ist auch M = ∅ . Du kannst der Menge A nichts entnehmen, auch kein "irgendwie dann später verschwindendes" Element, sondern eben nichts. Also gibt es auch keine Paare (x,y), bei dem du dann beide Komponenten multiplizieren könntest.
Naja, das kartesische Produkt ist sozusagen die Zwischenstufe. M ist kein kartesisches Produkt, das wäre ja
M := {(x,y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}. Aber um deine Menge zu bekommen, brauchst du ja die Paare.
x ∈ { }
geht natürlich nicht.
Aber wenn x ∈ A, gilt auch
x ∈ A ∪ { }
Wenn ich deine Konstellation richtig begriffen habe, hast du eine leere Menge A und eine Menge B mit y ∈ B. In der Vereinigungsmenge A ∪ B wäre nur y enthalten.
Du solltest deine Mengen aber auch etwas exakter beschreiben.
Ich glaube nicht, dass er die Vereinigungsmenge meint, sondern wohl die Menge der Produkte von Elementen aus A und B. Die ist natürlich leer.
Es geht um eine formal beschriebene Sprache mit 2 regulären Ausdrücken und es geht darum, dass die Sprache A keine Wörter enthält, aber B schon und {xy|x ∈ A und y ∈ B} ist nichts anderes als die Sprache die sich durch das zusammensetzen eines Wortes aus A und B zusammensetzt. Mein Problem ist nun wenn x ∈ A widerspruchsvoll wird für A={}, dann habe ich als Aussage in der Menge: false und y ∈ B, was laut Aussagenlogik logisch Äquivalent zu false ist und somit die Bedingung dafür, dass ein Element in der Menge ist nie Erfüllt ist und somit die Menge der leeren Menge gleicht. Aber mit logischem Verstand würde ich sagen, dass die Menge alle Elemente aus B haben muss.
Und im übrigen, danke, dass du auf dies Frage aufmerksam wurdest.
Ja, das ist ein Widerspruch, da die Leere Menge definiert ist als die Menge, sodass für alle x gilt: x ∉ ∅. Es gibt sogar einen relativ einfachen Beweis, der zeigt, dass die Leere Menge Teilmenge jeder Menge ist, der diesen Fakt nutzt. Der geht in etwa so:
Angenommen, es gibt eine Menge A, sodass ∅ ⊄ A → ∃ x ∈ ∅ : x ∉ A ⊥. Bedeutet wörtlich, wenn es eine Menge gäbe, sodass die leere Menge keine Teilmenge von A ist, dann existiert ein x Element von der leeren Menge (!), sodass es nicht in A liegt, was der Widerspruch ist.
Viel Spaß beim Lernen, LG.
Danke^^ irgendwie ist mir garnicht aufgefallen, dass ich da ein Kartesisches Produkt habe :D