Mengenmodell der Natürlichen Zahlen?

Hallo

Wie ich mitbekommen habe, kann man die Natürlichen Zahlen mit der Mengenlehre beschreiben. Dabei sind die Natürlichen Zahlen Mengen, welche Elemente enthalten.

0 = {}

1 = { {} }

2 = { {} ; { {} } }

3 = { {} ; { {} } ; { {} ; { {} } } }

n + 1 = n geschnitten mit {n}

Also lässt sich jede Menge einer natürlichen Zahl als die Menge aller schon definierten Zahlen bilden. Die Menge der Zahl 1 beinhaltet die Menge der Zahl 0. Die Menge der Zahl 2 beinhaltet die Menge der Zahl 1 und die Menge der Zahl 0. Das einzige was anfangs gegeben ist ist die Menge der Zahl 0, welche die leere Menge ist.

Man sagt, dass die Menge aller Natürlichen Zahlen die kleinste Induktive Menge ist.

Definition einer induktiven Menge:

1. Die Leere Menge ist Element der induktiven Menge.

2. Für jedes Element x der induktiven Menge gibt es ein Nachfolgerelement, welches x geschnitten mit {x} ist.

Es gibt ja verschiedene induktive Mengen und die Schnittmenge aller induktiven Mengen sind die Natürlichen Zahlen.

Somit soll bewiesen sein, dass die Natürlichen Zahlen existieren doch ich habe eine Frage.

Mir ist bewusst, dass die Schnittmenge aller induktiven Mengen gleich viele Elemente enthält wie die Natürlichen Zahlen. Also unendlich Elemente. Und ich weiss, dass die Natürlichen Zahlen ja die Mächtigkeit jedes einzelnen Elements der Schnittmenge aller induktiven Mengen bezeichnen. Und mir ist auch bewusst, dass jede natürliche Zahl n welche kleiner als eine andere Natürliche Zahl m ist, eine Teilmenge von dieser ist. Z.b.

1 = { {} }

2 = { {} ; { {} } }

1 ist Element von 2

Und so entsteht eine Ordnungsstruktur

Aber wieso soll die Schnittmenge aller induktiven Mengen die Menge der Natürlichen Zahlen sein? Ich kann mir das immer noch nivht erklären. Ja einige Eigenschaften stimmen überein aber das muss ja lange nicht heissen, dass diese Zwei Mengen identisch sind?

Kann mir das bitte jemand erklären?

Danke schon im Vorraus.

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