Menge und zahlen?

Beweisen Sie, dass es keine rationale Zahl a mit a3 = 3 gibt.

Answer 1

[mihisu]

Das „a3“ ergibt hier wenig Sinn. Vermutlich ist „a³“ gemeint, oder? Dementsprechend beziehe ich mich also auf die folgende Aufgabe:

„Beweisen Sie, dass es keine rationale Zahl a mit a³ = 3 gibt.“

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Kennst du den Euklid-Beweis der Irrationalität der Quadratwurzel aus 2?

https://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_der_Irrationalität_der_Wurzel_aus_2_bei_Euklid

So ähnlich kann man auch hier vorgehen.

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Angenommen es gäbe eine rationale Zahl a mit a³ = 3.

Da a eine rationale Zahl ist, gibt es ganze Zahlen p, q mit a = p/q.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir dabei annehmen, dass p und q teilerfremd sind. [Ansonsten könnte man den Bruch p/q entsprechend kürzen und die ganzen Zahlen des gekürzten Bruchs als neue Zahlen p und q verwenden.]

Aus a³ = 3 folgt dann...

$\left(\frac{p}{q}\right)^3=3$

$\rightarrow\quad \frac{p^3}{q^3}=3$

$\rightarrow\quad p^3=3\cdot q^3$

[Da p und q ganze Zahlen sind, sind auch p³ und q³ ganze Zahlen.] Damit ist p³ durch 3 teilbar. Da 3 eine Primzahl ist, muss demnach mindestens einer der Faktoren p oder p oder p des Produkts p³ = p ⋅ p ⋅ p durch 3 teilbar sein. Also muss p durch 3 teilbar sein. Dies bedeutet, dass es eine ganze Zahl k mit

$p=3\cdot k$

gibt.

Eingesetzt in die Gleichung p³ = 3 ⋅ q³ erhält man...

$\left(3\cdot k\right)^3=3\cdot q^3$

$\rightarrow\quad 3^3\cdot k^3=3\cdot q^3$

$\rightarrow\quad 3^2\cdot k^3=q^3$

$\rightarrow\quad 3\cdot \underbrace{3\cdot k^3}_{\in\mathbb{Z}}=q^3$

Damit ist dann auch q³ durch 3 teilbar. Da 3 eine Primzahl ist, ist damit auch q durch 3 teilbar.

Nun konnte man somit folgern, dass 3 ein gemeinsamer Teiler von p und q ist. Dies steht jedoch im Widerspruch zur Aussage weiter am Anfang, dass p und q teilerfremd sind.

Da man aus der ursprünglichen Annahme einen Widerspruch folgern konnte, ist die ursprüngliche Annahme (dass es eine entsprechende rationale Zahl a mit a³ = 3 geben würde) falsch.

Ergebnis: Es gibt keine rationale Zahl a mit a³ = 3.