könnt ihr beweisen, dass es keine rationale zahl mit x²=3 gibt?

Alternative zu zalto und zu 1011010, anknüpfend an Roach5:

(...)

3 = a²/b² ⇔ 3 b² = a²; (1)

Die Zahl a habe n Primfaktoren, die Zahl b habe m davon. Dann hat die Zahl auf der rechten Seite von (1) 2n Primfaktoren, also eine gerade Anzahl, die auf der linken Seite aber 2m+1, also eine ungerade Anzahl, weil 3 selbst prim ist; die Seiten von (1) können nicht gleich sein (Widerspruch).

Vorteil: Die Beweisidee funktioniert für jede Zahl, die einen Primfaktor in ungerader Potenz enhält.. Z.B. ist jede Wurzel einer natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, irrational. ⇒ Mit weniger Aufwand lässt sich mehr beweisen.

Nachteil: Die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung muss nachgewiesen sein. Das ist für natürliche Zahlen aber nicht so das Problem.

Wurzel ziehen

x = +/- Wurzel 3

jetzt nimmst du an das das eine rationale Zahl ist also

Wurzel 3 = p/q /²

3 = p²/q² /*q²

3q² = p²

p² und folglich p sind also ungerade weil gerade nicht geht da sich wiederspruch ergibt in Bezug Teilerfremdheit und weil folgt wenn q ungerade dann auch q² ungerade dann auch p² ungerade also auch p ungerade.

also schreibe ich für p = 2n+1 und auch für q = 2r+1

3 * (4n² + 4n +1) = 4r² + 4r + 1 <- Binomische Formeln schon ausgeklammert

12n² + 12n +3 = 4r² + 4r +1

2 = 4r²+4r-12n²-12n

2 = 4(r²+r-3n²-3n)

1=2(r²+r-3n²-3n)

da ist der Wiederspruch weil mal 2 ergibt gerade zahl kann aber nicht 1 sein also kann wurzel 3 nicht rational sein folglich auch nicht -wurzel3

Das ist der Beweis falls nicht verstanden nachfragen.

Versuchs mal mit Kontradiktion, es ist derselbe Beweis wie die Irrationalität von Wurzel 2. Bei Wurzel 3 gehst du einfach davon aus, dass sich sqrt(3) darstellen lassen kann als a/b (Impliziert die Identität einer rationalen Zahl), auch anders darstellbar als:

3 = a²/b²

Ein bischen Eigenarbeit wäre natürlich noch erwünscht, ich kann dir aber sagen dass du jetzt schon fast fertig bist und nurnoch argumentieren musst.

Versuche, das Gegenteil zu beweisen. Nennt sich indirekter Beweis.

Der Beweis der Irrationalität steht auf https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_3