Frage zu Mathematik(irrationale und rationale Zahlen)

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5 Antworten

Also in unserem Buch steht dass die abbrechenden und periodischen Zahlendie Menge der rationalen Zahlen bilden.

Das spricht jetzt nicht gerade für euer Buch (ist zwar nicht direkt falsch, aber so herum sollte man sich das nicht merken).

"Ratio" heißt in der Mathematik "Verhältnis" bzw "Quotient". Eine rationale Zahl ist also eine "Verhältniszahl". Sie ist darstellbar als Verhältnis (Quotient) zweier ganzer Zahlen. Daher die Bezeichnung Q für die Menge der rationalen Zahlen.

Q ist also die Menge aller Zahlen, die als Verhältnis (Quotient) zweier ganzer Zahlen gerschriben werden können.

Man kann dann leicht beweisen, dass die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl immer entweder endlich viele Nachkommastellen hat; oder unendlich viele, die dann aber ab irgendeiner Stelle periodisch ist.

Mit den Nachkommastellen, das ist aber nicht(!!!!) die Definition der rationalen bzw der irrationalen Zahlen.

Eine irrationale Zahl ist eine "Nicht-Verhältniszahl". Es ist eine reelle Zahl, die aber nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellbar ist. Die Dezimaldarstellung einer irrationalen Zahl hat immer unendlich viele, nichtperiodische Nachkommastellen.

Wenn eine Zahl periodisch (rational) und daher nichtabbrechend (irrational) ist,dann ist es ja zum Teil das und zum Teil das.

Da geht jetzt alles durcheinander. Die Zahlen selbst sind nie "periodisch" oder "unendlich" oder "abbrechend". Sondern nur ihre Dezimaldarstellung kann periodisch, abbrechend etc sein.

Die Zahlen selber sind entweder rational oder irrational.

  • Wenn eine Dezimaldarstellung abbrechend ist, dann ist sie endlich (ist nur eine anderes Wort dafür), und dann ist die Zahl selbst rational.
  • Wenn eine Dezimaldarstellung periodisch ist, dann ist sie natürlich zugleich unendlich. Jedenfalls, wenn sie periodisch ist, dann ist die Zahl selbst rational.
  • Wenn eine Dezimaldarstellung unendlich und nicht-periodisch ist, dann ist die Zahl selbst irrational.

Weitere Kombinationsmöglichkeiten gibt's nicht, das ist schon alles.

.Ist die Menge R(reelle Zahlen) die Obermenge für alle Zahlen oder nur eine Teilgruppe wozu nicht alle gehören?

Die reellen Zahlen sind alle Zahlen, die euch in der Schule begegnen werden. Sind sind die Obermenge der rationalen und der irrationalen Zahlen.

Rationale und irrationale Zahlen zusammen bilden die Menge der reellen Zahlen.

3.Wenn man auf dem Taschenrechner zum Beispiel die Wurzel aus irgendwas berechnet

Wenn es die Wurzel einer ganzen Zahl ist, dann ist die Wurzel entweder eine ganze Zahl (also, wenn es aufgeht, wie bei Wurzel(4)=2); oder, wenn die Wurzel keine ganze Zahl ist (du also Nachkommastellen siehst), dann ist die Wurzel immer irrational.

Ansonsten ggf Teilweises Wurzelziehen verwenden, Bruchrechnung verwenden, Potenzgesetze verwenden ... das hängt dann aber von der konkreten Aufgabe ab.

schön erklärt :)

das problem ist, dass heutzutage die schüler keine zahlensysteme zu anderen basen als 10 lernen. daher ist es nciht einfach zu erklären, dass rational / irrational unabhängig von der basis ist :)

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sry doppelpost

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1.So,mein Problem:Wenn eine Zahl periodisch (rational) und daher nichtabbrechend (irrational) ist,dann ist es ja zum Teil das und zum Teil das.Zu welcher Gruppe gehört es dann?

Wenn eine Zahl periodisch, nichtabbrechend ist, dann ist sie rational. Sie wäre nur dann irrational, wenn sie nicht periodisch wäre. Periodische Zahlen sind nie abbrechend. Beispiel: 1/7 oder 1/3. Periodisch => rational

2.Ist die Menge R(reelle Zahlen) die Obermenge für alle Zahlen oder nur eine Teilgruppe wozu nicht alle gehören?

Die Menge der IReellen Zahlen umfasst die der Rationalen Zahlen (IQ) und die IIrationalen Zahlen. Meinst du das?

3.Wenn man auf dem Taschenrechner zum Beispiel die Wurzel aus irgendwas berechnet und dann eine Kommazahl mit vielen Nachkommastellen rauskommt,dann

Du hast vergessen, dass als Frage zu formulieren. Ich nehme an, du willst wissen, wie man erkennen kann, ob eine Zahl rational oder irrational ist.

Hmm... Das ist gar nicht mal so leicht zu beantworten, finde ich... Versuche es mal so: Der Taschenrechner hält intern mehr Nachkommastellen als er anzeigt. Nimm deine Zahl solange mal 10 bis nur noch Nullen hinter dem Komma stehen und notiere dabei die einzelnen Ziffern. Dann tippst du diese Ziffern in deinen Taschenrechner und quadrierst sie. Wenn exakt der Radikand herauskommt, ist es wahrscheinlich eine rationale Zahl, ansonsten wurde wahrscheinlich die Mantisse vom TR abgeschnitten und die Zahl ist irrational. Eindeutig ist diese Vorgehensweise aber auch nicht, denn die Wurzel einer Zahl kann natürlich auch eine rationale Zahl sein, die die Mantissenlänge der TR überschreitet.

"...die abbrechenden und periodischen Zahlendie Menge der rationalen Zahlen bilden..."

zB 1/3 ist periodisch, denn es ist zwar nicht-abbrechend aber periodisch. 0.3333.....(periode)

daher gehört diese zahl auch zu den rationalen zahlen.

ALLE periodischen zahlen kann man als bruch darstellen (alle abbrechenden sowieso), deshalb sind alle brüche auch insgesamt alle rationalen zahlen. (ganze zahlen kann man auch als bruch darstellen)

die reellen mengen ist die obermenge für schüler ;) es gibt danach noch die komplexen zahlen. für dich in der schule sind die reellen zahlen die größte menge wo alle zahlen drin sind.

in der tat könnte es ja eine wurzel geben, die zufällig rationale ist, aber soo viele nachkommastellen hat, dass sie der TR nicht mehr alle anzeigen kann. ob die zahl dann abbricht oder nicht kann man dann nicht mehr sagen.

Das nenn ich doch mal ne gute Frage :)

1) Du hast das Buch da missverstanden (man muss zugeben, dass es sich etwas undeutlich ausgedrückt hat):

Eine abbrechende Zahl ist rational und eine periodische Zahl ist rational. Das heißt, eine Zahl muss ENTWEDER abbrechend ODER periodisch sein, damit sie rational ist und nicht beides gleichzeitig (beides gleichzeitig wäre ja auch Unsinn). Jede periodische Zahl ist nichtabbrechend, wie du eben schon bemerkt hast, aber nicht jede nichtabbrechende ist irrational ^^

2) IR ist der Körper aller Zahlen, die du bisher kennst (also beinhaltet IR die rationalen und irrationalen Zahlen).

3) Der Taschenrechner gibt ja immer eine bestimmte Höchstanzahl an Nachkommastellen an (z.B. 8). Wenn die Wurzel einer Zahl beim TR nun genau 8 Nachkommastellen hat, kannst du dir ziemlich sicher sein, dass sie unendlich lang ist. Wenn du es aber genau wissen willst, notiere dir die Zahl, tippe sie in den TR und quadriere sie. Wenn dabei genau dein Anfangswert rauskommt, wird die Zahl wohl tatsächlich nur endlich lang gewesen sein.

Im Übrigen haben kluge Mathematiker einen nützlichen Satz bewiesen: Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist entweder ebenfalls natürlich oder irrational. Damit kannst du dir, falls du die Wurzel einer natürlichen Zahl ziehst, zusätzliche Arbeit sparen ^^

Danke :)) Jetzt versteh sogar ich es ;D Nur noch eine Frage:Du hast gesagt dass nicht jede nichtabbrechende Zahl irrational ist.Warum???

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@rockrailer

Damit eine Zahl irrational ist, muss sie nichtabbrechend UND nichtperiodisch sein. Wenn man sich beispielsweise 1/3 = 0,3333333... anguckt, sieht man sofort, dass die Zahl periodisch ist. Damit ist aber das Kriterium "nichtperiodisch" für irrationale Zahlen nicht erfüllt, also ist 1/3 nicht irrational. Weiterhin ist die Zahl aber nichtabbrechend, also gibt es nichtabbrechende Zahlen, die nicht irrational sind ^^

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@rockrailer

bsp: 1/3 = 0,333333... ist nichtabbrechend, aber periodisch, also rational.

du kannst definition auch umdrehen:

wenn eine zahl nichtabbrechend ist UND nichtperiodisch ist, dann ist sie irrational.

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das mit wurzel aus natürlich = natürlich oder irrational is gut, wusste ich gar nicht, is aber ja fast genauso leicht beweisen wie wurzel(2) irrational.

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Ich glaub mit periodisch ist 6,343 gemeint und nicht 6,33333333 ;)

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