Die Wkeit, dass keine 1 geworfen wird, ist halt (5/6) * (5/6) * (5/6). Also muss die Gegenwahrscheinlichkeit gerade 1 - (5/6) * (5/6) * (5/6) sein, was die Musterlösung ist.

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"Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass [...], wenn [...]".

Das schreit doch geradezu nach bedingter Wahrscheinlichkeit.

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EDIT: Mein erster Einwand war falsch.

Ich würde ganz straightforward drangehen: Es gibt 9 Möglichkeiten für die erste Ziffer, dann 9 für die zweite, 8 für die dritte, 7 für die vierte usw... Es ergeben sich also

9 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 Möglichkeiten.

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b) 3,7^(2x) = 5 | Logarithmieren

2x * log(3,7) = log(5) | Durch den Koeffizienten von x teilen

x = log(5) / (2 * log(3,7)) = ~ 0,62.

f) Schreibe 0,2 = 5^(-1) und 25 = 5^2. Dann lautet die Gleichung:

(5^2)^(x+1) = 5^(-1) | Potenzgesetz

5^(2x + 2) = 5^(-1) | Exponentenvergleich

2x + 2 = -1 | Auflösen

x = -3/2.

Zusammengefasst: Wenn du eine Chance auf einen Exponentenvergleich siehst, mach es. Ansonsten einfach auf die Form a^(cx) = b bringen und logarithmieren.

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Das Kreuzprodukt ist sicher ein gültiger Richtungsvektor der Schnittgeraden. Der hilft dir aber nur weiter, wenn du auch einen Ortsvektor dazu bestimmst. Wenn du leicht einen Schnittpunkt der Ebenen erraten kannst, ist das also durchaus eine gute Methode.

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Schreibe a = u + vi und b = x + yi. Dann ist

|a-b|² = |(u + x) - (v + y)i|²

= (u+x)² + (v + y)²

= (u² + v²) + 2(ux + vy) + (x² + y²)

= |a|² + 2(ux + vy) + |b|².

Nun ist Re(āb) = Re((u - vi)(x + yi))

= Re((ux + vy) + (uy - vx)i)

= (ux + vy).

Also können wir diesen Term in |a-b|² ersetzen:

|a|² + 2(ux + vy) + |b|²

= |a|² + 2Re(āb) + |b|².

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Es muss hier nicht gezeigt werden, dass ggT(a,b) = 1 ist; das ist die Annahme (auch Voraussetzung genannt).

Die Aussage lautet doch: Wenn ggT(a,b) = 1 ist, dann ist kgV(a,b) = ab. und um das zu beweisen, brauchen wir nur Fälle zu betrachten, in denen ggT(a,b) = 1 gilt, denn in allen anderen Fällen gilt die Aussage trivialerweise.

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Dein Edit ist korrekt. Mit Projektion meint man für gewöhnlich nicht die Verschiebung selbst, sondern das Bild des Punktes unter der Verschiebung.

Das kennt man eigentlich auch aus der Praxis: Wenn du mithilfe eines (mittlerweile altertümlichen) OHP ein Bild an die Tafel wirfst, dann ist dieses Bild an der Tafel die Projektion des Originals auf dem OHP.

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Vergiss nicht, dass der Normalenvektor nur bis auf ein skalares Vielfaches eindeutig bestimmt ist; d.h. wenn dein Normalenvektor bei einer der linken Ebene linear abhängig zu einem der Normalenvektoren der rechten Ebenen ist, hast du schonmal einen guten Kandidaten gefunden.

Du musst auch nicht unbedingt die Normalenvektoren berechnen; du könntest stattdessen auch prüfen, ob die Richtungsvektoren einer linken Ebene beide senkrecht auf dem Normalenvektor einer rechten Ebene steht. Z.B. bei E3 und E4 sieht man das quasi sofort.

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Zunächst: Wenn du P ≠ NP zeigst, wird damit schonmal gar nichts gehackt.

Wenn du P = NP zeigst, muss dein Beweis nicht zwangsläufig konstruktiv sein; dann wüsste man zwar, dass die ganzen NP-vollständigen Probleme theoretisch in polynomieller Zeit geknackt werden können, aber trotzdem würde niemand einen Algorithmus dafür kennen und auch dann würde mit deiner Arbeit nichts gehackt.

Wenn du P = NP konstruktiv zeigst (i.e. ein Verfahren findest, aus einem NP-Algorithmus einen P-Algorithmus zu bauen), dann sieht die Sache anders aus. Wenn du deine Arbeit veröffentlichst (um die 1mio einzusacken) könnte danach halt "jeder" deine Ergebnisse für sich verwenden statt einem einzelnen Unternehmen - könnte anfangs chaotisch werden ;)

Vermutlich würde ich dennoch die 1Mio nehmen, alleine deshalb weil ich meine Erkenntnisse der Welt nicht vorenthalten will, die doch so dringend danach sucht.

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Zum Rechnen selbst bin ich zu faul, aber ich kann dir die Rechenwege kurz beschreiben:

Zu a): x² ausklammern, dann Satz vom Nullprodukt.

Zu b): Satz vom Nullprodukt, dann pq-Formel.

Zu c): z = x² substituieren, dann pq-Formel.

Zu d): -1/2 * x ausklammern, dann Satz vom Nullprodukt, dann pq-Formel.

Zu e): Gleichung durch (-2,2) dividieren, dann pq-Formel.

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Meine erste Idee wäre in etwa:

int input,n;
printf("Bitte eine ganze Zahl eingeben: ")
scanf("%d",&input); // Fehlerhafte Eingaben abfangen wäre schön
n = input % 5;
switch(n){
  case 0: input = 2 * input; break;
  case 2: input = input / 2; break; // Eventuell typecasten wegen Ganzzahldivision
  case 3: input = input + 3
  default: input = input - 4; break;
}
printf("neuer Zahlenwert: %d",input);
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Die Idee hinter dem Verkauf der Seele ist ja, dass "du" nicht dasselbe bist wie dein physischer Körper, sondern eben auch zum Teil aus deiner Seele bestehst (man kann argumentieren, dass du nach deinem Tod nur noch aus Seele bestehen würdest).

Durch den Verkauf der Seele könnte diese dann nicht mehr in den Himmel oder etwas gleichwertiges auffahren, was eine permanente Strafe ist, für die du in aller Regel nur einen temporären Nutzen bekommst. Daher ist es für gewöhnlich ein schlechter Deal, sofern die Theorie hinter Himmel und Seele korrekt ist.

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Naja, {ab,b} ist die Menge, die die Strings "ab" und "b" als Elemente beinhaltet. Die Aussageform

x ∈ {ab,b} bedeutet daher x = ab oder x = b.

Zu 3e: Eigentlich ist die Lösung durch einen relativ intuitiven Ansatz erreichbar:

Wir überlegen uns zunächst, wie der erste Buchstabe des Wortes lauten kann. Naja, entweder a oder b oder c (oder gar kein Buchstabe, aber den Spezialfall lösen wir später).

Wenn es ein c ist, ist alles ok, aber wenn es ein a oder b ist, ist die Gesamtanzahl der a's und b's zu diesem Zeitpunkt ungerade. Damit das Wort trotzdem in der Sprache enthalten ist, muss später wieder ein a oder ein b kommen. Wir fokussieren das erste a oder b, das wir danach finden und erhalten zunächst den Ausdruck:

(a + b)c*(a + b) + c.

Nachdem wir entweder ein c oder eine Sequenz (a+b)c*(a+b) gelesen haben, fragen wir uns, was der nächste Buchstabe sein kann. Mit derselben Überlegung wird wieder die Sequenz "c" oder "(a+b)c*(a+b)" folgen (oder das leere Wort). Daher folgern wir induktiv, dass jedes Wort der Sprache dem Ausdruck

((a+b)c*(a+b)+c)* genügt. Der letzte Stern löst auch das Problem mit dem leeren Wort.

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Hier ne alternative Rechnung ohne explizites Gleichungssystem:

Wir brauchen 100 Tiere und müssen 100€ ausgeben. D.h. pro Euro müssen wir im Durchschnitt 1 Tier bekommen. Katzen erfüllen dieses Kriterium perfekt, aber wir können nicht nur Katzen kaufen.

Wenn wir einen Hund kaufen, geben wir 15€ aus, kriegen für das Geld aber 14 Tiere "zu wenig". Das müssen wir irgendwie mit Mäusen wieder ausgleichen.

Für jeden Euro kriegen wir 3 Mäuse "zu viel". Um die 14 fehlenden Tiere für den Hund auszugleichen, müssen wir also 14/3€ für Mäuse ausgeben.

Problem: Wir können nur ganzzahlige Geldbeträge ausgeben. Also machen wir das ganze Verfahren 3-mal, d.h. wir kaufen 3 Hunde für je 15€ und gleichen das ganze mit 14€ für Mäuse aus. Den Rest füllen wir mit Katzen auf:

45€ <~> 3 Hunde

14€ <~> 56 Mäuse

41€ <~> 41 Katzen

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Die erste Verzweigung steht dafür, mit welcher W-keit der Kandidat das richtige Tor, falsches Tor 1 oder falsches Tor 2 wählt.

Die zweite Verzweigung steht für die unterschiedlichen Tore, die nach der ersten Wahl geschlossen werden können. Hat der Kandidat ein falsches Tor gewählt, so gibt es nur ein mögliches Tor, das der Showmaster schließen kann.

Hat der Kandidat das richtige Tor gewählt, so ist es dem Showmaster freigestellt, welches der anderen beiden Tore er schließt. Da wir nicht wissen, nach welchem Prinzip er vorgeht, kennen wir auch nicht die genauen W-keiten dafür und nennen sie deshalb ganz allgemein p und (1-p).

Die letzte Verzweigung schließlich beschreibt, ob der Kandidat wechselt oder nicht. Die angegebenen W-keiten stehen hierbei nicht für die W-keit dass der Kandidat wechselt (oder nicht), sondern für die W-keit, dass er durch diese Aktion gewinnt.

Die W-keit, dass der Kandidat durch wechseln gewinnt, ist daher gemäß dieses Diagramms:

(1/3 * p * 0) + (1/3 * (1-p) * 0) + (1/3 * 0 * 0)

+ (1/3 * 1 * 1) + (1/3 * 0 * 0) + (1/3 * 1 * 1)

= 0 + 0 + 0 + 1/3 + 0 + 1/3 = 2/3.

Insbesondere ist das Ergebnis unabhängig von p, d.h. selbst der klügste Moderator hat keine Chance, die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln zu senken!

Ist nur eine von vielen Möglichkeiten für ein Baumdiagramm.

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Bezüglich c): Wir haben eine Urne mit 5 E-Bikes und 15 anderen Zweirädern. Wir ziehen aus dieser Urne 4-mal. Wie hoch ist die W-keit, dass jeder Zug ein E-Bike ist?

Deine übrigen Rechnungen sehen soweit plausibel aus.

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Da steht einfach nochmal die Definition von der Wurzel (auch wenn sie meiner Meinung nach unvollständig ist). Das haben sie einfach zur Sicherheit nochmal hingeschrieben, damit niemand die Aufgabe nicht machen kann, nur weil er nicht weiß, was ne Wurzel ist.

Zum Grenzwert von cn:



Nun bemerkst du, dass die rechte Seite ein konstanter Faktor ist, der größer als 0 ist. Somit ist



für einen konstanten Faktor k. Aber die Wurzelfunktion ist unbeschränkt.

Zum Grenzwert von bn: Schreibe



Nun berechne leicht den Grenzwert.

Zu deiner zweiten Frage:

Löse die Ungleichungen



bzw

nach n auf.

PS: Kann sein dass du zum korrekten Anzeigen der Brüche etwas reinzoomen musst.

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zu i) Das folgt nicht SO direkt aus der Aufgabenstellung. Sagen wir, wir haben z.B. 2 Variablen x,y und nehmen die Belegung B(x) = 1, B(y) = 1.

Die disjunktive Normalform (x and y) or (not x and not y) liefert offensichtlich 1 zurück; was auch gut ist, da die Belegung tatsächlich zwei Einsen hat.

ABER: Einer der Konjunktionsterme (der zweite nämlich) hat kein einziges positives Literal. Wenn die Aussage in i) stimmt, muss es also eine Belegung geben, für die diese DNF das falsche Ergebnis zurückliefert.

Wir können uns um den Rest der Aufgaben kümmern, wenn du i) verstanden hast ;)

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