Aufgabe zu Analysis I?
Hallo zusammen,
folgende Aufgabe:
Man betrachte eine 7 stellige Zahl, also von 1 000 000 bis 9 999 999. Man wählt zufällig eine aus, wobei alle Zahlen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 7 Ziffern paarweise verschieden sind?
Mein Ansatz:
Es gibt für Ziffer Eins 9 verschiedene Zahlen ( da 0 311 768 keine 7-stellige Zahl ist) und für alle anderen 6 Ziffern 10 verschiedene Zahlen. Macht insgesamt 9(10^6) mögliche Zahlen.
Paarweise verschieden heißt, von den 7 Ziffern gibt es keine zwei gleiche. Ich berechne jetzt erst die Anzahl aller 7 Stelligen Zahlen (inklusive 0 vorne), die aus 7 verschiedenen Ziffern bestehen und ziehe davon alle 6 Stelligen Zahlen ab (mit 0 nicht vorne), die aus verschiedenen Ziffern bestehen.
Für ersteres gibt es (10 über 7)* 7! Lösungen. Für zweites gibt es 9(9 über 5) 5! Möglichkeiten, da ich als erste Ziffer alles von 1-9 nehmen kann und für die restlichen fünf Ziffern eine Auswahl aus eigentlich 10 (0-9), aber da ich eine ja schon genommen habe, 9 Zahlen. Da diese 5 Ziffern gedreht werden können, noch mal 5!.
Das wäre eine Wahrscheinlichkeit von
[ (10 über 7)* 7! - 9(9 über 5)5!]\ [9(10^6)]
Was sagt ihr dazu?
4 Antworten
EDIT: Mein erster Einwand war falsch.
Ich würde ganz straightforward drangehen: Es gibt 9 Möglichkeiten für die erste Ziffer, dann 9 für die zweite, 8 für die dritte, 7 für die vierte usw... Es ergeben sich also
9 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 Möglichkeiten.
Na wenn es für dich das heißt. Für mich heißt das dann nicht "paarweise verschieden" sondern einfach "alle Ziffern verschieden" oder "keine gleiche Ziffern".
Aber gut, alles Gute hier.
Über das 2. denke ich noch nach, aber nach Adam Ries sind es für mich nicht 9 *10^6 Zahlen sondern von 1 *10^6 bis 9.999.999 sind es 9.999.999 Zahlen!
Paarweise ist für mich, die 3. kann genau der 2. entsprechend gleich sein!
Man müsste mal rechnen, ob meine Zahl und Deine dieselben sind...
Sind sie nicht, aber wenn du dein (9 über 5) durch (8 über 5) ersetzt, stimmen sie überein. Der Grund: Du darfst ja nicht nur die erste Ziffer der 6-stelligen Zahl nicht verwenden, sondern auch die 0, die schon an der allerersten Stelle steht.
Ergibt Sinn, wäre aber für eine Analysis I Aufgabe zu einfach finde ich.
Das passt so nicht. Du erhälst eine zu kleine Wahrscheinlichkeit.
Grund: Du ziehst bei der Berechnung der Anzahl 7-stelliger Zahlen mit paarweise verschiedenen Ziffern zu viele sechstellige Zahlen mit paarweise verschiedenen Ziffern ab. Beispielsweise würdest du ja sagen, dass du die Zahl 914052 nicht dabei haben möchtest. Die hast du aber vorher gar nicht dabei gehabt. Denn mit führender Null, damit es 7 Stellen werden, wäre dies 0914052, so dass da zweimal die Ziffer 0 dabei wäre. Die Möglichkeit 0914052 ist also gar nicht in den (10 über 7)*7! Möglichkeiten dabei, wird aber bei den 9*(9 über 5)*5! als angeblich zu viel subtrahiert.
Warum nutzt du die Überlegung, mit der du die Anzahl der 6-stelligen Zahlen mit paarweise verschiedenen Ziffern berechnet hast, nicht direkt für die Berechnung der Anzahl der 7-stelligen Zahlen mit paarweise verschiedenen Ziffern? Es gibt 9*(9 über 6)*6! verschiedene 7-stellige Zahlen mit paarweise verschiedenen Ziffern. Bzw. würde ich es so sehen, dass man für die erste Ziffer 9 Möglichkeiten hat (Ziffern 1 bis 9). Dann hat man 9 Möglichkeiten für die zweite Ziffer, 8 Möglichkeiten für die dritte Ziffer, etc. So kommt man dann auch auf ...
... für die Anzahl 7-stelliger Zahlen mit paarweise verschiedenen Ziffern.
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man ...
Mein Ansatz kommt auf dasselbe Ergebnis; ich hätte nur anstatt (9über5) (8über5) machen müssen.
(10über7)*7! - 9*(8über5)*5! ist dasselbe.
Ich habe deine Lösung jetzt nicht durchgedacht, aber:
Es gibt 9 * 10^6 mögliche 7-stellige Zahlen.
Wenn keine zwei benachbarten Zahlen gleich sein dürfen, so gibt es
9^7 verschieden Zahlen.
(die erste Ziffer kann 1-9 sein, die zweite 0-9, ohne die Ziffer an Stelle 1 usw)
Beliebige zwei Zahlen sollen paarweise verschieden sein, d.h. es gibt keine zwei gleichen Zahlen ...
dann ergibt das "paarweise" hier keinen Sinn, sondern würde formuliert werden als "alle Ziffern verschieden".
Aber gut, ich akzeptiere diese krude Formulierung und bin raus.
Das ist ü rigens weniger Analysis sondern vielmehr Stochastik :-D
War eine der ersten Aufgaben aus Analysis I im Kapitel 1 zu Induktion ;-).
Habe davon noch nicht so viel Ahnung bin erst 17 und gehe noch in die 11. ...
Das wäre, wenn alle Ziffern verschieden wären. "paarweise verschieden" interpretiere ich so, dass nur keine gleichen Ziffern nebeneinder stehn dürfen.