Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das in einer zufälligen 6 -stelligen Zahl genau eine Ziffer doppelt vorkommt?
Für "keine Ziffer doppelt" habe ich es so gerechnet:
6-stellige Zahl = 10^6 Möglichkeiten
6 stellige Zahlen ohne doppelte Ziffer = 10*9*8*7*6*5 = 151.200 Möglichkeiten
Und 151200 / 10^6 = 0,1512
Für genau eine Ziffer doppelt brauche ich dann ja die Möglichkeiten für 6 stellige Zahlen mit einer doppelten Ziffer. Da habe ich aber keine Ansatz, wie man darauf kommt. Danke für die Hilfe.
1 Antwort
Hallo,
da eine Ziffer doppelt sein soll, sind nur 5 von ihnen unterschiedlich.
Es gibt 10 über 5 gleich 252 Möglichkeiten, aus 10 Ziffern fünf unterschiedliche auszuwählen.
Da die Zahl sechs Stellen haben soll, von denen zwei ununterscheidbar sind, gibt es 6!/2! gleich 360 unterschiedliche Anordnungen.
252*360=90720.
Damit bist Du aber noch nicht fertig. Eine sechsstellige Zahl hat an der ersten Stelle keine Null stehen. Du mußt also alle Möglichkeiten mit einer Null am Anfang abziehen.
Auch hier mußt Du noch eine Fallunterscheidung machen: Wenn die Null zweimal vorkommt, hast Du hinten 5 unterschiedliche Ziffern.
Eine von denen soll eine 0 sein. Für die restlichen vier Stellen bleiben (9 über 5)=126 Möglichkeiten. Diese werden multipliziert mit 5!=120, was 15120 ergibt.
Dazu kommen noch alle Zahlen mit einer Null an erster Stelle, die keine weitere Null mehr besitzen.
Das sind dann 9 über 5 mal 5!/2!, weil ja nun eine von den fünf restlichen Ziffern doppelt ist. Das ergibt noch einmal 7560 Zahlen, die ungültig sind.
Zusammen 90720-15120-7560=68040.
Nachtrag: Es müssen mehr sein.
Wenn Du aus 10 Ziffern 5 auswählst, sind das 252 unterschiedliche Kombinationen.
Nimm an, Du hast die Ziffern 1,2,3,4,5 gezogen und die 1 ist doppelt.
Diese 6 Ziffern kannst Du in 6!/2/=360 unterschiedliche Reihenfolgen bringen.
Das gilt aber auch, wenn die 2, die 3 die 4 oder die 5 doppelt sein sollen. Für jede der fünf ausgewählten Ziffern gibt es 360 Permutationen, was 1800 ergibt.
Das mal 252 macht 453600 Zahlen.
Natürlich müssen davon wieder die abgezogen werden, die mit einer Null anfangen. Auch hier sind es mehr: Fall 1: Die Null tritt noch einmal unter den fünf restlichen Stellen auf. Dann bleibt es bei den 15120 Zahlen, da ja nun keine Ziffer mehr doppelt ist.
Wenn aber die Null kein zweites Mal vorkommt,
rechnest Du (9 über 5)*5!/2=126*60=7580. Da aber hier eine von fünf Ziffern doppelt sein kann, mußt Du auch diese Zahl mit 5 multiplizieren:
5*7560=37800.
453600-15120-37800=400680, was von den 900000 sechsstelligen Zahlen zwischen 100000 und 999999 ungefähr 44,5 % ausmacht.
Herzliche Grüße,
Willy