Produkt Ziffern einer 5 stelligen Zahl?
Wie viele 5-stellige natürliche Zahlen gibt es, bei denen das Produkt ihrer Ziffern gleich 1000 ist?
10,20,30,40 oder 60?
2 Antworten
40
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Die einzigen einstelligen Zahlen (also die einzigen Ziffern), welche 1000 teilen sind 1, 2, 4, 8, 5, was man unter anderem anhand der Primfaktorzerlegung
erkennen kann. (1, 2, 2², 2³ und 5 sind möglich. 5² wäre nicht mehr einstellig. Auch 2⋅5 wäre nicht mehr einstellig.) Bzw. kann man natürlich auch einfach die Ziffern 0, 1, 2, 3, ..., 9 durchgehen, ob sie Teiler von 1000 sind.
Anhand der Primfaktorzerlegung kann man insbesondere auch erkennen, dass dann die Ziffer 5 genau 3-mal vorkommen muss. Für die restlichen beiden Ziffern gibt es die beiden Fälle 8, 1 und 4, 2.
Dementsprechend sind also die folgenden auftretenden Ziffern möglich:
- 5, 5, 5, 8, 1
- 5, 5, 5, 4, 2
Im ersten Fall (5, 5, 5, 8, 1) gibt es 5 Möglichkeiten, an welche Stelle die 1 steht. Für jede dieser 5 Möglichkeiten gibt es dann jeweils noch 4 Möglichkeiten, an welcher Stelle die 8 steht. Das sind dann 5 ⋅ 4 = 20 Möglichkeiten. An den restlichen Stellen müssen dann 5er stehen.
Analog dazu gibt es im Fall (5, 5, 5, 4, 2) 20 Möglichkeiten, die Ziffern anzuordnen.
Insgesamt gibt es dann dementsprechend 20 + 20 = 40 entsprechende 5-stellige Zahlen.
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Hier übrigens eine Liste dieser Zahlen:
15558, 15585, 15855, 18555, 24555,
25455, 25545, 25554, 42555, 45255,
45525, 45552, 51558, 51585, 51855,
52455, 52545, 52554, 54255, 54525,
54552, 55158, 55185, 55245, 55254,
55425, 55452, 55518, 55524, 55542,
55581, 55815, 55851, 58155, 58515,
58551, 81555, 85155, 85515, 85551
Also erstmal brauchst du die gemeinsamen Teiler von 1000
Das sind 1 2 4 5 8
Dann kannst du experimentieren.
1000/(2*4*5*5*5)=1
1000/(1*8*5*5*5)=1
Mehr Kombination sind glaube ich nicht möglich
5/2 geht nicht 5*2 geht auch nicht.
Somit sind die Möglichkeiten mit 5 Ziffern erschöpft
Die Ziffern kannst du noch umstellen wie zu willst und zählen.
ob es einen theoretischen mathematischen Ansatz gibt um das zu ermitteln weiß ich nicht