Ist 99,9(Periode) wirklich immer hundert?
Wir haben in der Schule gelernt, dass 99,9 Periode immer 100 ist, jedoch ist mir dabei ein Faktor aufgefallen, der dies widerlegen könnte.
Es gibt ein Phänomen, das besagt, dass 99,9...% aller Reellen Zahlen mindestens einmal die Ziffer 3 in sich trägt. Bei einstelligen Zahlen von 0 bis 9 haben 10% die Ziffer 3 mindestens einmal in sich. Bei Zahlen von 0 bis 100 sin es schon 19%. Wenn man nun alle Reellen Zahlen betrachtet bemerkt man, dass je mehr Ziffern eine Zahl hat, desto höher ist der Anteil an Zahlen, die mindestens einmal die Ziffer 3 in sich trägt. Also wäre der Anteil aller Reeller Zahlen, die mindestens einmal die Ziffer 3 in sich tragen 99,99(Periode)%. Aber immer noch nicht 100%, da es ja noch Zahlen wie 1 oder 2 gibt.
Dies ist eine Frage, mit welcher ich mich schon sehr lange beschäftige hoffentlich kann mir jemand eine logische Antwort geben.
5 Antworten
Die interessante Frage daran ist, was du genau berechnest, wenn du sagst, dass du einen Anteil von etwas berechnest, wenn du mit unendlichen Mengen rechnest. Das ist hier ja so etwas wie eine relative Häufigkeit: ich habe unendlich viele Zahlen überhaupt und davon enthalten unendliche viele eine 3, ich weiß aber, das es noch andere gibt, was bleibt da noch für die anderen über?
In der Mathematik gibt es das Konzept der Maße, bei dem Teilmengen von Mengen Werte zugeordnet werden, die dieser Idee (welchen Anteil hat eine Teilmenge an einer Menge) entsprechen. Und bei diesem Konzept ist es möglich, dass eine Teilmenge das Maß 0 hat, obwohl sie selber unendlich viele Elemente enthält. Du kannst es dir z. B. so vorstellen: Du hast eine Zielscheibe mit echten mathematischen Kreisen (also Linien, die ja keine Ausdehnung haben) und du schießt darauf mit einem punktförmigen Projektil. Dann siehst du, dass die Linien faktisch da sind, aber wie in deinem Beispiel nehmen sie keinen Raum ein. Der Anteil der Linien an der gesamten Zielscheibe ist also Null und die Wahrscheinlichkeit, eine solche Linie zu treffen, ist damit auch Null. Trotzdem liegen auf diesen Linien ja Punkte!
Solche Mengen nennt man Nullmengen (oder vernachlässigbare) Mengen.
Das ist nichts, was man in der Schule lernt. Aber es ist eine mathematisch exakte Theorie, die sehr genau beschreibt, was denn so was wie "Flächeanteil" etc. wirklich meint.
Ich muss zugeben Mathe ist nicht meine stärke aber da es 9 Periode ist erreicht es ja theoretisch die 100 nie sondern ist einfach nur knapp dran. Vielleicht wurde das mit 100 als Vereinfachung genutzt.
Nein. Nein. Und nochmal Nein. 99.Periode 9 ist nicht knapp 100, nicht fast 100, sondern es ist 100, das ist auch keine Vereinfachung.
Das Problem ist, dass die meisten Menschen keine wirklich exakte Vorstellung davon haben, was Periode überhaupt bedeutet. Wenn man das sauber definiert hat, dann ist es überhaupt keine Frage mehr.
Lies einfach mal hier, da wird das Thema mal ein wenig eingehender beleuchtet.
https://www.spektrum.de/kolumne/uneindeutige-dezimaldarstellung-ist-0-999-gleich-1/1996561
Hier ist der Beweis:
99.999... =
99 + 0.999... =
99 + 0.333... + 0.333.. + 0.333.. =
99 + 1/3 + 1/3 + 1/3 =
99 + 1 =
100
100/3=33,33333...
Gegenprobe: 33,33333...*3=100
Das stimmt nur, wenn es unendlich viele Dreier sind.
99,99999...=33,33333...*3=100
Alles klar?