Aus drei unterschiedlichen Ziffern alle sechs möglichen, verschiedenen dreistelligen Zahlen bilden, dann addieren und diese durch sechs teilen?
Aus drei unterschiedlichen Ziffern alle sechs möglichen, verschiedenen dreistelligen Zahlen bilden, dann addieren und diese durch sechs teilen. Wie kann ich die Aufgabe algebraisch herleiten und wie erklärt man dass immer drei gleiche zahlen rauskommen?
Beispiele:
789+798+978+987+879+897=5328:6=888
129+192+219+291+912+921=2664:6=444
168+186+618+681+816+861=3330:6=555
3 Antworten
Hallo,
stimmt doch gar nicht:
(257+275+527+572+725+752)/6=518.
Es gilt nur, wenn die drei Ziffern gleiche Abstände haben wie 123; 135; 258; 159 usw.
Deren Quersumme ist immer das Dreifache der Ziffer in der Mitte,
denn m-n+m+m+n=3m.
Eine dreistellige Zahl aus den Ziffern a, b und c ist 100a+10b+c.
In den sechs Permutationen abc, acb, bac, bca, cab, cba ist jede Ziffer je zweimal an der Hunderter-, Zehner- und Einerstelle, so daß man ihre Summe als
200*(a+b+c)+20*(a+b+c)+2*(a+b+c)=222*(a+b+c) aufschreiben kann, was durch 6 geteilt 37*(a+b+c) ergibt. Eine dreistellige Zahl mit unterschiedlichen Ziffern, die jeweils gleiche Abstände haben, also aus den Ziffern m-n, m und m+n besteht und die Quersumme 3m hat, hat somit als Summe all ihrer sechs Permutationen
222*(3m)=666m, was durch 6 geteilt 111m ergibt.
Da m auf keinen Fall größer als 8 sein kann, denn die größtmögliche dreistellige Zahl aus drei unterschiedlichen Ziffern mit gleichen Abständen ist 789 mit m=8, können nur Ergebnisse wie 111, 222 usw. bis 888 herauskommen.
Es müssen nicht mal gleiche Abstände sein. Es reicht, wenn die Quersumme der drei Ziffern durch 3 teilbar ist, weil die dann auch als 3m darstellbar ist.
Dazu müssen die Ziffern auch nicht unterschiedlich sein.
Also: Für jede dreistellige Zahl, die durch 3 teilbar ist (denn das gilt auch für ihre Quersumme), gilt: Teilt man die Summe ihrer Permutationen durch deren Anzahl, erhält man eine Zahl, die aus drei gleichen Ziffern besteht.
Herzliche Grüße,
Willy
Ja, das geht. Ich habe auch Ergebnisse bekommen. Das hängt an den immer gleichen Basiszahlen.
Tipp: Schreibe jede dieser sechs Zahlen in der Form
100a + 10b + c
Zum Beispiel 7*100 + 8*10 + 9 wäre 789.
Ja das hatte ich auch schon, aber ich weiß nicht weiter, also wie ich eine allgemeine Formel bekommen kann
Nun, du hast ja auch die Zahl 100a + 10c + b, 100b + 10a + c usw.
Stimmt! Es kommt einfach immer das 37-fache der Quersumme heraus, das muss aber keine Zahl aus lauter gleichen Ziffern sein.