Gibt es einen Weg diese Formeln in eine zu fassen?

kurz zum Hintergrund dessen: Es wird gewürfelt, die Wahrscheinlichkeit das Spieler A gewinnt ist 42%, die Wahrscheinlichkeit das Spieler B gewinnt ist ca. 58%. Jeder hat 10 "Leben" bzw. jeder darf nur 9 mal verlieren. Ich möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen dass Spieler A gewinnt.

Zunächst gibt es verschiedene Pfade wie Spieler A gewinnen kann. Bsp.: Spieler A hat 3 Leben übrig und Spieler B 0, oder: Spieler A hat 1 Leben übrig und Spieler B 0.

Dann gibt es diese Verschiedenen Pfade auch mehrmals. Bsp.: (Pfad 3 Leben übrig) Spieler A muss 10 mal gewinnen, dabei gewinnt Spieler B nur 7 mal. Also gibt es verschiedene Kombinationen wie Spieler A 10 gewinnt und Spieler B 7 mal, dies berechnet man mit dem Binomialkoeffizient: n = 17; k = 10 also 17 über 10. Es gibt somit 19448 Kombinationen aus 10 mal ...

Also muss man noch die Wahrscheinlichkeit Berechnen für eine Kombinationen der Vielen: (0.42^10 * 0.58^7), dann mal die Anzahl der der Pfade: (0.42^10 * 0.58^7)*19448 = also ca. 7%.

Diesen Vorgang habe ich allerdings für jedes mögliche Gewinnverhältnis für Spieler A, also 2 Leben übrig, oder 3 übrig oder 1 übrig etc., gemacht:

Anschließend die Verschiedenen Gewinnpfade addiert, so ist die Gesamt-Gewinn-Wahrscheinlichkeit ca. 39%.

Frage: Gibt es einen Weg all diese einzelnen Pfade mit 17;16;15;14 etc. zusammenzufassen in eine Formel, die auch auf andere Werte anwendbar ist? Sodass ich nur die Werte pA=0.42; pB=0.58 und 10 Leben einsetzen kann?

Gibt es einen Weg diese Formeln in eine zu fassen?
Mathematik, Mathe, Formel, Wahrscheinlichkeit, Kombinatorik, binomialkoeffizient

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