Binomialkoeffizient beweisen?
Hallo!
Ich habe eine Frage zu einer Matheaufgabe, die lautet:
"Lisa fällt auf, dass jede Zeile (gemeint ist das pascalsche Dreieck in Tebellenform) symmetrisch ist, d.h. die Zahlen werden erst immer größer, dann folgen die gleichen Zahlen in umgekehrter Reihenfolge. Lisa fällt ein, dass sie dazu eine allgemeine Gesetzmäßigkeit in der Vorlesung kennengelernt hat. Welche allgemeine Formel (aus der Vorlesung) für die Binomialkoeffizienten meint Lisa damit? Begründen Sie die Gültigkeit der gesuchten Formel kurz mit Ihren eigenen Worten mithilfe (i) der Definition des Binomialkoeffizienten. (ii) des binomischen Lehrsatzes. (iii) der Interpretation von n k als Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge."
Ich denke, damit ist gemeint, richtig? Verstehe anhand des pascalschen Dreiecks auch, dass das so ist, weiß aber nicht, wie ich das jetzt bewesen kann.. Habe mir schonmal Herleitungen dieser Formel angeguckt, aber nicht verstanden. Könnte mir jemand erklären, was bei der Fragestellung gefragt ist und wie ich den Beweis erbringe?
Vielen lieben Dank!
Von rechts nach links einfach die Definition des Binomialkoeffizienten anwenden. Das ist nicht ganz kurz, aber am Ende kommt man beim gewünschten Ergebnis raus.
also quasi die formel des binomialkoeffizienten zu der oben stehenden formel umschreiben? Habe das versucht, aber den Rechenweg nicht nachvollziehen können..
Versuch es doch selbst. Im Prinzip ist das "nur" etwas kompliziertere Bruchrechnung. Du musst nur die rechte Seite zusammenfassen.
Also die rechte Seite ist ja gegeben durch
Rechts-Links-Schwäche? ;-) von links nach rechts ist es kompliziert, von rechts nach links nur Zusammenfassen.
Oh verdammt ich meinte die linke hahaha
Die Antwortmöglichkeiten hier sind irgendwie zu begrenzt, ich habe daher meine Frage unten selber beantwortet. Meinst du das ?
2 Antworten
Hallo,
[(n-1) über( k-1)]=(n-1)!/[(k-1)!*(n-k)!]
[(n-1) über k]=(n-1)!/[k!*(n-k-1)!]
Soweit sollte es klar sein.
[(n-1) über( k-1)]+[(n-1) über k]=(n-1)!/[(k-1)!*(n-k)!]+(n-1)!/[k!*(n-k-1)!]
Die beiden Brüche bringst Du auf einen Nenner, wobei der Hauptnenner das Produkt der einzelnen Faktoren des Nenners ist, also (k-1)!*(n-k)!*(n-k-1)!*k!
Den ersten Bruch erweiterst Du mit k!*(n-k-1)!, den zweiten mit (k-1)!*(n-k)!.
Nun kannst Du beide Brüche auf einen Bruchstrich bringen:
[(n-1)!*k!*(n-k-1)!+(n-1)!*(k-1)!*(n-k)!]/[(k-1)!*(n-k)!*(n-k-1)!*k!]
Nun stellst Du im Zähler k! als (k-1)!*k dar und (n-k)! als (n-k-1)!*(n-k).
Jetzt sieht der Zähler so aus:
(n-1)!*(k-1)!*k*(n-k-1)!+(n-1)!*(k-1)!*(n-k-1)!*(n-k)
Klammere die gemeinsamen Faktoren aus:
(n-1)!*(k-1)!*(n-k-1)!*(k+n-k).
Nun hast Du als Zähler ein Produkt, aus dem Du kürzen kannst und einen Nenner, der ein Produkt darstellt, dabei wird k+n-k einfach zu n:
[(n-1)!*(k-1)!*(n-k-1)!*n]/[(k-1)!*(n-k)!*(n-k-1)!*k!]
(k-1)! und (n-k-1)! lassen sich kürzen.
Es bleibt
[(n-1)!*n]/[(n-k)!*k!]
(n-1)!*n=n!
So bekommst Du n!/[k!*(n-k)!], also (n über k), womit die Identität bewiesen wäre.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Summe besteht doch aus zwei Produkten nach dem Schema a*b*c*d+a*b*c*e,
wobei d=k und e=(n-k).
Die drei Faktoren (n-1)!*(k-1)!*(n-k-1)! tauchen ja in beiden Summanden auf und entsprechen a*b*c.
Zur besseren Übersicht kannst Du nun a*b*c durch u ersetzen:
u*d+u*e=u*(d+e).
Wenn Du nun u durch die drei gemeinsamen Faktoren ersetzt, d durch k und e durch n-k, kommst Du auf (n-1)!*(k-1)!*(n-k-1)!*(k+n-k).
Ohhhhh vielein Dank! Stand irgendwie voll auf dem Schlauch xD Super, dankeschön!
@Willibergi
Sorry, ich komme mit Gute Frage nicht so klar xD also geht meine Antwort hier weiter..
Habe im Internet gefunden, dass man die linke Seite in
umwandeln kann. Verstehe eigentlich alles, außer dass
zu
wird.. wieso steht da nicht
?
Ich meinte hier auch die rechte Seite und nicht die linke
Wow vielen Dank für die ausführliche Antwort! Mir sind soweit alle Schritte klar, außer einer.. Wie genau hast du hier ausgeklammert? (Sorry, so wie es aussieht fehlen mir viele mathematische Grundlagen)
(n-1)!*(k-1)!*k*(n-k-1)!+(n-1)!*(k-1)!*(n-k-1)!*(n-k)
Klammere die gemeinsamen Faktoren aus:
(n-1)!*(k-1)!*(n-k-1)!*(k+n-k).
Ansonsten schonmal vielen Dank!! Weiß zwar nicht, wie ich da jemals selbst drauf gekommen wäre, aber werde mich jetzt einfach weiter mit dem Binomialkoeffizienten beschäftigen haha..