Wie viele Teilmengen mit mehr als 4 Elementen hat eine 9-elementige Menge?
Wir haben die Aufgabe in Mathe quf und ich verstehe nicht genau wie ich das rechne. Ich weiß, dass es etwas mit dem binomialkoeffizient zu tun, jedoch nicht wie ich es darauf anwende. Also wenn ich das richtig verstanden habe gibt es die Formel ,,n über k''(man kann das bei der Tastatur nicht eingeben) oder n!/[k!×(n-k)!] und k ist die Teilmenge und n die elementige Menge, aber ist die 4 dann der binomialkoeffizient und ich muss die Formel umstellen oder wie bringe ich die 4 mit ein. Ich bitte um eine Erklärung udn nicht nur die Lösung.
2 Antworten
Das ganze n!/[k!×(n-k)!] ist der Bin-Koeff.
4 ist einfach nur k
Jeder normale TR für die Schule hat eine ( n über k ) Funktion
Man muss hier (9 über 5 ) bis ( 9 über 9 ) zusammenzählen
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge es gibt.
Bei einer neunelementigen Menge gibt es demanch vierelementige Teilmengen.
Wenn nach mehr als vier Elementen gefragt sind, müssen die Binomialkoeffizienten für k = 5, 6, 7, 8, 9 und n = 9 aufsummiert werden.Hier geht es leichter:
Wegenkann man auch für k = 0, 1, 2, 3, 4 und n = 9 aufsummieren und kommt auf das gleiche Ergebnis. Zue jeder Teilmenge mit k Elementen gibt es nämlich eine Teilmenge mit n-k Elementen. Da es genauso viele Teilmengen mit höchstens vier Elementen gibt wie mit mindestens fünf Elementen, muss das dann die Hälfte von der Gesamtanzahl der Teilmengen sein. Bei einer n elementigen Menge gibt es 2n Teilmengen. Für jedes der n Elemente gibt es nämlich die zwei Möglichkeiten, dass das Element in der Teilmenge drin ist oder nicht, was insgesamt 2n Kombinationen ergibt. Bei neun Elementen sind es also 512 Teilmengen und die Hälfte davon sind 256.
Nach dem binomischen Lehrsatz gilt außerdem die Summenformel: Hier sieht man auch nochmal, dass wenn man die Binomialkoeffizienten aufsummiert, man dann 2n erhält.