Mathematik Beweis Binomialkoeffizient?
Gegeben ist der allgemeine Binomialkoeffizient mit "n über k" sowie die Angabe
" n = 2k ".
Wie kann ich nun beweisen, dass das "n über k" stets durch (k+1) teilbar ist?
Danke!
2 Antworten
Binomialkoeffizienten sind natürliche Zahlen, also muss die Differenz eine ganze Zahl (offensichtlich sogar eine natürliche) sein.
Das klingt erstmal einleuchtend. Danke für diese wirklich hilfreiche Antwort.
Wende die Definition des Binomialkoeffizienten an. (Die mit den Fakultäten)
Wenn in einer Zahl (k+1) als Faktor vorkommt, ist diese Zahl durch (k+1) teilbar. Genauso wie z.B. die Zahl 17*39 durch 17 teilbar ist.
(k+1) kann man nicht kürzen, weil das nur im Zähler vorkommt.
Man hat dann:
Irgendwas * (k+1) und das ist auf jeden Fall durch (k+1) teilbar, weil das "Irgendwas" als Produkt ganzer Zahlen wieder eine ganze Zahl ist.
"Kürzen" war der falsche Ausdruck - das stimmt. Dann sagen wir eben, wir teilen die Zahl durch (k+1) und dadurch fällt der Faktor [k+1] im Zähler weg.
Dann bleibt noch dieses "Irgendwas". Das ist zweifelsohne eine ganze Zahl. Die Frage ist, ob dieses "Irgendwas" nun durch den Nenner "1*...*k*1*...*k" teilbar ist, also ob sich nun eine ganze Zahl ergibt.
Stimmt, du hast recht. Da wüsste ich jetzt auch nicht direkt eine Antwort. Ich hatte gerade überlegt, ob das, was übrig bleibt, vielleicht ein anderer Binomialkoeffizient sein könnte, aber das passt nicht so ganz...
Danke für die schnelle Antwort. Jetzt schreibe ich also
1*...*k*(k+1)*...*2k geteilt durch 1*...*k*1*...*k
und kürze dann den Faktor (k+1)?
Dann steht noch dort:
1*...*k*(k+2)*...*2k geteilt durch 1*...*k*1*...*k
Das muss doch eine ganze Zahl ergeben, damit die Teilbarkeit bewiesen ist. (Wenn hier keine ganze Zahl herauskommen würde, dann wäre es ja nicht "teilbar" gewesen.) Wie zeige ich, dass das übrig gebliebene eine ganze Zahl ist?