Mathematik?
Beiweise, dass sich jede Primzahl, die größer als 3 ist, stets in der Form (6n+1) oder in Form (6n-1) darstellen lässt!
Kann mir jemand das Ergebnis zu dem Beweis sagen, da ich gerade bezweifle
5 Antworten
Jede ganze Zahl (insbesondere also auch jede Primzahl) lässt sich als 6 m + k mit m ∈ ℤ und k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5} schreiben. [Begründung: Division durch 6 mit Rest]
Für k = 1 lässt sich die Primzahl in der Form 6n+1 schreiben, indem man n = m wählt.
Für k = 5 lässt sich die Primzahl in der Form 6m + 5 = 6 (m + 1) - 1 = 6n - 1 schreiben, indem man n = m + 1 wählt.
Versvollständige nun diesen Beweis, indem du begründest, warum die Fälle 6m, 6m + 2, 6m + 3 und 6m + 4 für Primzahlen größer als 3 nicht in Frage kommen. [Das soll dazu dienen, dass du selbst an dieser Stelle nochmal Gelegenheit bekommst, nachzudenken, wie man das machen könnte. Die Auflösung befindet sich weiter unten.]
======Rest des Beweises======
6m ist durch 6 teilbar. Da Primzahlen nur sich selbst und 1 als natürliche Teiler haben, müsste die Primzahl nun gleich 6 sein. 6 ist jedoch keine Primzahl (da 6 beispielsweise 2 als Teiler hat). Aufgrund dieses Widerspruchs kommt der Fall 6m nicht in Frage.
6m + 2 = 2 (3m + 1) ist durch 2 teilbar. Da Primzahlen nur sich selbst und 1 als natürliche Teiler haben, müsste die Primzahl nun gleich 2 sein. Jedoch ist 2 nicht größer als 3, weshalb dieser Fall nicht in Frage kommt.
6m + 3 = 3 (2m + 1) ist durch 3 teilbar. Da Primzahlen nur sich selbst und 1 als natürliche Teiler haben, müsste die Primzahl nun gleich 3 sein. Jedoch ist 3 nicht größer als 3, weshalb dieser Fall nicht in Frage kommt.
6m + 4 = 2 (3m + 2) ist durch 2 teilbar. Da Primzahlen nur sich selbst und 1 als natürliche Teiler haben, müsste die Primzahl nun gleich 2 sein. Jedoch ist 2 nicht größer als 3, weshalb dieser Fall nicht in Frage kommt.
Eine natürliche Zahl kann bei Division durch 6 einen der Reste 0, 1, 2, 3, 4 oder 5 haben. Wenn sie eine Primzahl ist, dann fallen 0, 2 und 4 aus, weil die Zahl dann durch 2 teilbare wäre. Außerden fällt der Rest 3 aus, weil dann die Zahl durch 3 teilbar wäre.
Also lässte eine Primzahl bei Division durch 6 den Rest 1 oder 5. Dann kann man sie als 6n + 1 oder 6n + 5 schreiben, wobei wegen 6n + 5 = 6(n+1) - 1 man statt 6n + 5 auch 6n - 1 schreiben kann.
Jede natürliche Zahl lässt sich mit 6n+k darstellen, wobei n eine natürliche Zahl (mit 0) ist, und k eine ganze Zahl zwischen 0 und 5 ist.
Die Schreibweise 6n+5 ist dann äquivalent zu 6(n+1)-1, somit repräsentiert 6n-1 die selben Zahlen.
Du musst also zeigen, dass für k=0, 2, 3, 4 keine Primzahl rauskommen kann.
Für k=0,2,4 ist die Zahl durch 2 teilbar, da du dann bei 6n+k den Faktor 2 ausklammern kannst.
Für k=3 ist die Zahl aus dem selben Grund durch 3 Teilbar.
Für Zahlen größer als 3 handelt es sich dann für diese k garantiert nicht um eine Primzahl.
Es gibt ja nur die Möglichkeiten 6n+0, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n+4, 6n+5.
6n+5 ist das gleiche wie 6(n+1)-1, also 6n-1 mit anderem n.
Die anderen sind ja offensichtlich nicht prim, da teilbar durch 2 oder 3
Hier wurde darüber diskutiert und es gab gute Antworten: Lässt sich jede Primzahl größer 3 als 6n+1 oder 6n-1 darstellen? | Mathelounge
LG
Ich kann dir die ganzen Kommentare auch gerne hier rein kopieren... Lies sie dir doch einfach durch, ist ne Sache von 6-8min. LG
Kannst du mir das bitte einmal aufschreiben, da es zu viele Kommentare sind