Folge von Endziffern beweisen?
Guten Abend,
ich habe eine kleine Frage zu einer Mathematik-Hausaufgabe. Es ist die Funktion f(x)=(x^4+21) gegeben. Nun sollen wir beweisen, dass diese Funktion bei einer Teilung durch 5 nie eine Natürliche Zahl als Produkt hat.
Gedankengang:
Da eine Teilung durch 5 nur dann keinen Rest besitzt, wenn die Endziffer gleich 0 oder 5 und das bei f(x) nie der Fall ist, ist kein y-Wert von f(x) je durch 5 teilbar. Die Endziffern der Funktion f(x), besitzen nämlich eine gewisse Folge, und zwar 1; 2; 7; 2; 7; 6; 7; 2; 7; 2, welche sich immer wiederholt. Das habe ich per Tabellenkalkulationsprogramm herausgefunden. Wie lässt sich nun diese immer gleiche Abfolge an Endziffern, welche die Aufgabe bestätigen würde, auf mathematischer Ebene beweisen?
Viele Grüße und danke schon einmal im Voraus.
3 Antworten
Man kann das ganze auch mit einer Modulobetrachtung lösen:
21 lässt bei Division mit 5 den Rest 1. Damit x^4+21 durch 5 teilbar ist, muss x^4 bei Division mit 5 also den Rest 4 lassen. Damit würden sich die Reste nämlich zu 5 addieren und die Division mit 5 würde glatt aufgehen.
Man muss jetzt nur x=0 bis x=4 betrachten, denn ab x=5 wiederholen sich die Divisionsreste.
0^4 gibt Rest 0
1^4 gibt Rest 1
2^4 gibt Rest 1
3^4 gibt Rest 1
4^4 gibt Rest 1
Da hier kein Rest 4 vorkommt, ist x^4+21 für natürliche x nie durch 5 teilbar.
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Beweis dafür, dass die Reste sich wiederholen:
Sei z eine natürliche Zahl größer als 4. Dann gibt es ganze Zahlen m<5 und n sodass z=m+5n gilt (versuch mal, dir klarzumachen, wieso wir hier m<5 annehmen dürfen).
Dann liefert z durch 5 den Rest, der sich aus der Addition der Reste von m durch 5 und 5k durch 5 ergibt. Aber 5k durch 5 gibt den Rest 0, also ist der Rest von z durch 5 lediglich von m, also einem der vier obigen Werte für x, abhängig.
Für die Einerziffer in x⁴ ist nur die Einerziffer von x.
Zeigen ksnnst du das, indem du x schreibst als
x = 10*m + e
Wobei m eine natürliche Zahl oder 0 ist und e die Einerziffer von x.
Nun berechne (10*m + e)⁴ allgemein.
Die Mühe, das hier anzuschreiben, wollte ich mir eigentlich ersparen.
Wenn du (10m+e)⁴ ausrechnest kommst du auf
10.000 m⁴ + 4.000 e m³ + 600 e² m² + 40 e³ m + e⁴ =
10*(1.000 m⁴ + 400 e m³ + 60 e² m² + 4e³m) +e⁴
Du siehst: bis auf das e⁴ am Ende werden alles anderen Summanden mit 10 multipliziert. Da alle Summanden ganzzahlig sind, KÖNNEN diese nichts zur Einerstelle beitragen. Ausschleßlich e⁴ trägt zur Einerziffer bei (und e war nur eine Ziffer von 0 bis 9)
Jetzt sehe ich es, danke sehr! Setze ich schließlich für das e^4 die Ziffern 0 bis 9 ein erhalte ich die Reihe 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1. Da wären noch Endziffern dabei, die durch 5 geteilt werden könnten. Fügt man den Zahlen aber noch die Endziffer 1 der 21 hinzu, verschiebt sich das alles zur bekannten Abfolge, die durch 5 unteilbar ist! Vielen herzlichen Dank. Ich bin blöderweise nach dem kompletten Ausklammern von (10m+e)^4 zu doof gewesen, das zu erkennen.
Hi,
völlig richtig überlegt:
eine Quadratzahl kann nur die Endziffern:
0, 1, 4, 5, 6, 9 haben
diese Enziffern zum Qudrat (wegen x^4), sind dann nur noch
0, 1, 6, 5, möglich
wenn ich 1 dazuzähle ( wegen +21) ergibt das als Enziffer nur folgende Möglichkeiten:
1, 2, 7, 6
also definitiv keine Zahl die durch 5 teilbar wäre.
LG,
Heni
Hi Heni,
das wäre in der Tat eine sehr gute und einfache Lösungsalternative!
Hi,
erst einmal danke für deine Antwort, die sind bei solchen Mathematikfragen nämlich rar gesät. Ich muss jedoch leider zugeben, dass ich nicht zu 100% schlau aus ihr werde. Für die Reihenfolge ist eigentlich nur das x^4 verantwortlich, durch die Konstante 21 wird dem nur immer 1 addiert (Die 20 sind vernachlässigbar), was es dann ja unteilbar macht. Was genau meinst du jedoch mit der allgemeinen Berechnung von (10m+e)^4? Wäre sehr lieb, wenn du das noch einen Schritt weiter erläutern könntest!