(2n!/(n!*n!)) / (n+1)?

Wie kann man beweisen, dass

$\frac{\left(2n\right)!}{n!\cdot n!}$ $\frac{2n!}{n!\cdot n!}$

durch

$\left(n+1\right)$ teilbar ist (teilbar meint hier ohne Rest)?

$\frac{4!}{2!\cdot2!}$ ist ja beispielsweise 6, was durch 3 (2+1) teilbar ist, das Phänomen erstreckt sich auch bei anderen Werten für n als natürliche Zahl, aber wie kann ich beweisen, dass es immer so ist?

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[Ellejolka]

du hättest im Zähler lieber (2n)! schreiben sollen. Der Klarheit wegen.

[80anonymous08]

Ach, ja, das habe ich vergessen!

Answer 1

[EinNutzer9]

$\frac{\left(2n\right)!}{n!\cdot n!\cdot\left(n+1\right)}$ $=\frac{\left(2n\right)!}{\left(n-1\right)!\cdot n\cdot\left(n+1\right)!}$ $=\frac{\left(2n\right)!}{\left(n-1\right)!\cdot\left(n+1\right)!}\cdot\frac{1}{n}$ $=\frac{\left(2n\right)!}{\left(n-1\right)!\cdot\left(n+1\right)!}\cdot\frac{\left(n+1\right)-n}{n}$ $=\frac{\left(2n\right)!}{\left(n-1\right)!\cdot\left(n+1\right)!}\cdot\frac{n+1}{n}-\frac{\left(2n\right)!}{\left(n-1\right)!\cdot\left(n+1\right)!}\cdot\frac{n}{n}$ $=\frac{\left(2n\right)!}{n!\cdot n!}-\frac{\left(2n\right)!}{\left(n-1\right)!\cdot\left(n+1\right)!}$ $=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}$ Da Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind, muss diese Differenz eine ganze Zahl sein. (Weil auch n + 1 natürlich ist, handelt es sich sogar um eine natürliche Zahl.) Somit ergibt der gegebene Term durch n + 1 dividiert eine natürliche Zahl. Also ist der gegebene Term durch n + 1 teilbar.

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[EinNutzer9]

Die Umformung n! = (n-1)!*n hätte man sich auch sparen können. Man hätte einfach (2n)!/(n!*n!) * 1/(n+1) = (2n)! / (n!*n!) * ((n+1)-n)/(n+1) rechnen können.

Answer 2

[Aurel8317648]

Zeige, dass folgende beide Aussagen wahr sind:

1) A(0)

2) A(n) => A(n+1)

verwende (n+1)! = n! * (n+1)

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[80anonymous08]

Für A(0) kriege ich das hin (ist ja nicht so schwer), aber wie macht man das denn bei 2) bzw. was genau bedeutet das?

[Aurel8317648]

@80anonymous08

formuliere A(n+1) und versuche in A(n+1) mittels ( n+1)! = n! * (n+1) das A(n) zu identifizieren

[Aurel8317648]

@Aurel8317648

(2n)! = 2n * (2n-1) * (2n-2) * .....

(2(n+1))! = (2n + 2)! = (2n + 2) * (2n +1) * (2n)!

Answer 3

[Ellejolka]

zunächst stellt sich die Frage nach einer Formel für

(2n)!

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[80anonymous08]

Ist das nicht einfach 2n*(2n-1)*(2n-2)...*2*1? Oder kann man das noch anders / besser ausdrücken?

[Ellejolka]

@80anonymous08

nee, das stimmt nicht- ich finde im Moment auch keine Formel dafür.

[80anonymous08]

@Ellejolka

hm. okay, trotzdem danke.

Answer 4

[hoyohoo]

Normalerweise würde ich sagen, du machst das mit vollständiger Induktion...

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Hatte seinerzeit Physik LK im Abi

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[80anonymous08]

Wie genau würde man das da machen? Einmal für n=0 und dann einen Wert >0?

Oder wie viele "Proben" macht man da dann immer?

[hoyohoo]

@80anonymous08

Beginnen bei euch die Natürlichen Zahlen bei 0 oder bei 1? Dementsprechend dann 0 oder 1 als Induktionsanfang nehmen und dafür zeigen.

Dann gibt man in der Induktionsvoraussetzung an, dass das hier gesagte für ein beliebiges, aber festes n einfach gelten soll.

Nun folgt der eigentliche Induktionsschritt. Hier setzt man n auf (n+1). Aus allen n in der Formel machst du also eine (n+1). Dann versuchst du das so weit umzuformen, bis du die Induktionsvoraussetzung wieder benutzen kannst.

Im endeffekt zeigst du halt, dass die neue Formel dann meinetwegen durch (n+2) teilbar ist.

Induktion war nie meine Stärke sorry, so genau weiß ich das nicht mehr. Liegt etliche Semester zurück...

[80anonymous08]

@hoyohoo

Okay, habe das nämlich auch noch nie gemacht😅