Wo ist der Unterschied zwischen dem Grenzwert einer Funktion und einer Folge?
Warum muss man erst die Folge der Funktionswerte bilden um das Konvergenzverhalten einer Funktion untersuchen zu können?
Vor allem da eine Folge nur für natürliche Zahlen definiert ist, die meisten Funktionen aber für reelle Zahlen.
Wurde mir in der Uni beigebracht, nur der Unterschied ist mir nicht bewusst.
mfg stupigenius
4 Antworten
Streng genommen musst du jede sinnvolle Folge von Funktionsargumenten und zugehörigen Funktionswerten nehmen. Man nimmt dann einfach eine Folge, für die man nicht näher spezifiziert, wie sie verläuft, außer dass die Folge der Funktionsargumente konvergiert.
Warum man den Grenzwert einer Folge nimmt, liegt daran, dass man Grenzwerte zunächst einmal nur für Folgen definiert hat. Grenzwerte für Funktionen definiert man dann mit Hilfe der Grenzwerte für Folgen von Funktionswerten.
(In der Topologie nimmt man von vornherein andere Grenzwertbegriffe, u. a. weil man hier nicht immer Folgen zur Verfügung hat, aber das nur am Rande.)
Warum muss man erst die Folge der Funktionswerte bilden um das Konvergenzverhalten einer Funktion untersuchen zu können?
Muss man gar nicht, und bringt auch nicht unbedingt viel:
lim k→∞ sin(2π·k) = 0 impliziert nicht: lim x→∞ sin(x) = 0
Mit einer geschickt gewählten Folge von Funktionswerten kannst Du vielleicht manchmal ein Gegenbeispiel konstruieren und zeigen, dass f nicht gegen einen vermuteten Grenzwert konvergiert.
Aber allgemein musst Du zeigen, dass ab einem hinreichend großen x₀ alle Funktionswerte innerhalb einer gegebenen ε-Umgebung liegen. Mit einer abzählbaren Auswahl (Folge) kommt man da in der Regel nicht weit — es sei denn, man nutzt irgendwelche Monotonie-Eigenschaften oder so.
Bingo! Aber konvergente (oder sogar konstante) Folgen von Funktionswerten findet man bei periodischen Funktionen ganz leicht.
Ich wollte nur zeigen, dass auch unendlich viele konvergente Folgen nichts über das Konvergenzverhalten einer Funktion aussagen.
Es gibt keinen Unterschied, weil auch eine Folge eine Funktion N->R ist.
Konvergenzverhalten von Funktionen kann man auch durch Betrachten des Zielintervalls von Ausgangsintervallen untersuchen.
Für Folgen ist einfacher.
So viel ich weiß haben doch periodische Funktion (wie sin(x)) keinen Grenzwert, da sie unbestimmt divergent sind.