Wie definiert man eine überabzählbare Menge?

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3 Antworten

Abzählbar unendlich heißt, man kann alle Elemente der Menge durchnumerieren.

Cantor hat nun gesagt: Wenn mir einer kommt und behauptet, er habe eine Liste gefunden, die alle reellen Zahlen enthält, dann konstruiere ich ihm schnell eine reelle Zahl, die er vergessen hat und entlarve ihn damit als Lügner.

Fazit: Es gibt keine Aufzählung aller reellen Zahlen; diese sind also nicht abzählbar, sondern viel mehr.

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Nun konnte ich keine für mich sinnvolle Erklärung finden was der
unterschied zwischen 'unendlich' und 'unendlich aber nicht zählbar' ist.

Ich würde nicht sagen, dass die Menge der Reellen Zahlen »unendlich, aber nicht abzählbar«, sondern eher, dass die Menge der Rationalen Zahlen und sogar die Menge aller algebraischen Zahlen (√2 oder Φ (Goldener Schnitt) eingeschlossen) unendlich, aber abzählbar ist.

Das finde ich nämlich noch wesentlich erstaunlicher. Die Nichtabzählbarkeit der Menge aller Reellen Zahlen hingegen geht gleichsam in dieselbe Richtung wie die Unendlichkeit schon, nur mindestens einen Schritt weiter.

Zur Frage selbst:

Der Vergleich zwischen zwei Mengen hinsichtlich ihrer Kardinalität, der Zahl ihrer Elemente (respektive deren Verallgemeinerung auf unendliche Kardinalzahlen), lässt sich dadurch formalisieren, dass man versucht, eine Bijektion zwischen beiden Mengen zu finden, eine sowohl umkehrbar eindeutige (injektive) als auch vollständige (surjektive) Abbildung.

Eine Abbildung kann man sich durch das Verteilen von Murmeln auf Mulden vorstellen. Es ist schlicht unmöglich, eine Murmel in zwei verschiedene Mulden gleichzeitig zu legen, und das macht eine Abbildung aus. Injektiv heißt nun, dass in jeder Mulde höchstens eine Murmel liegt, surjektiv heißt, dass in jeder Mulde mindestens eine liegt, und bijektiv heißt natürlich, dass es genau eine ist.

Sind zwei Mengen A und B gleich mächtig, so gibt es eine Bijektion zwischen beiden. Im endlichen Fall ist jede injektive Abbildung auch surjektiv und umgekehrt, was im Unendlichen nicht der Fall zu sein braucht, aber zumindest gibt es eine Bijektion. Ist A mächtiger als B, so gibt es keine injektive, ist B mächtiger, keine surjektive Abbildung A→B.

Die Menge N der Natürlichen Zahlen ist unendlich, aber im Prinzip würde man jede Natürliche Zahl früher oder später erwähnt haben, wenn man nur auch unendlich viel Zeit dazu hätte.

Abzählbar unendlich ist eine Menge M dann, wenn es eine Bijektion N→M gibt.

Überabzählbar unendlich ist eine Menge M dann, wenn man die Nicht-Surjektivität einer beliebigen Abbildung N→M unabhängig von deren konkreten Eigenschaften zeigen kann, dass also anschaulich gesprochen immer mindestens eine Mulde (und dann sind es auch unendlich viele) leer bleibt.

Genau das hat Cantor gemacht.

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Dieser Beweis ist falsch. Das steht seit hundert Jahren falsch in den Schulbüchern drin. Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz resultiert daraus.

Es sollte bewiesen werden, das die Menge der reellen Zahlen größer ist als die der natürlichen Zahlen. Dadurch wird eine Zuordnung vorgenommen, eine Liste aller reelen Zahlen, zuerst eine erste reelle Zahl, dann eine zweite usw., also für jede natürliche Zahl ein Platz für eine reelle Zahl. Geht das?

Cantor hat eine angenommen, es gäbe eine Liste aller reeller Zahlen, schön durchnummeriert mit den natürlichen Zahlen.

Jetzt hat er eine neue Zahl so konstruiert, das sie zu allen Zahlen in dieser Liste sich unterscheidet: die n-te Ziffer der neuen Zahl ist ungleich der n-ten Ziffer der n-ten Zahl der Liste.

Was er dabei übersah: Diese neue Zahl müsste ja schon in der Liste sein, wenn diese vollständig wäre. Damit wäre die Zahl aber undefiniert an dieser Stelle, denn diese Ziffer kann ja nicht ungleich sich selbst sein. Damit ist der ganze Beweis hinfällig..

Auch kann man tatsächlich eine solche Liste aller reellen Zahlen anlegen, die mit den natürlichen Zahlen durchnummeriert werden:

Man nehme eine Definition der Zahl, wandle diese in Text um (z.B. pdf-datei), und diese Datei dann als riesige natürliche Zahl.

Da jede reelle Zahl eine endliche Definition hat, hat sie auch eine endliche natürliche Zahl, und damit einen wohldefinierten Platz in der Liste.

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Kommentar von DerDaene
17.02.2016, 21:07

Also gibt es keine nicht zählbaren zahlen?

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Kommentar von ralphdieter
18.02.2016, 02:23

Was er dabei übersah:

Er hat es nicht übersehen, sondern zeigt mit dem Finger auf diesen Widerspruch.

Damit ist der ganze Beweis hinfällig..

Nicht der ganze Beweis, sondern nur die Beweisannahme "ℝ ist abzählbar".

Da jede reelle Zahl eine endliche Definition hat

Falsch: das sind nur die berechenbaren Zahlen, und davon gibt es natürlich nur abzählbar viele (genau wie Turingmaschinen). Aber schon der Grenzwert einer konvergenten Folge solcher Zahlen muss selbst nicht mehr berechenbar sein. Erst bei den reellen Zahlen hört dieser Spuk auf: die sind wirklich vollständig.

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