Gute und kurze Erklärung zu überabzählbar unendlich... usw?
Hey, ich mach mir mit den Vorlesungsfolien aus Diskrete Strukturen gerade Lernzettel. Bin bei der Erklärung von Unendlichkeit. Kann mit der des Profs aber nicht sonderlich viel anfangen.
Kann mir irgendwer eine ein bis zwei Sätze lange Erklärung pro Teil sagen? Also was ist unendlich? abzählbar? überabzählbar? abzählbar unendlich? Wär super wenn man evtl. ein kleines leichtes Beispiel dazu hätte. Und bitte nicht Fachbegriffe benutzen. Sowas wie bijektiv usw, einfach leicht ausformulieren damit man es gut versteht.
Ich bedanke mich schonmal vorher, habe nämlich im Internet keine sonderlich guten Erklärungen gefunden?!
2 Antworten
Naja, zu Unendlich brauch ich wohl nichts zu sagen. Eben nicht endlich (ich weiß, ist tautologisch :))
Jetzt Unterscheiden die Mathematiker jedoch zwei verschiedene Formen der Unendlichkeit und hier wirds spannend: Es gibt abzählbare und überabzählbare unendliche Mengen.
Abzählbar ist eine Menge dann, wenn man ihre Elemente abzählen kann (wer hätte das gedacht). Das heißt ich kann jedem Element der Menge eine natürliche Zahl zuordnen, also 1,2,3,4... (die natürlichen Zahlen sind natürlich selbst unendlich und abzählbar)
Überabzählbar ist eine Menge dann, wenn dies nicht mehr möglich ist,
Ein paar Beispiele vielleicht:
Abzählbar sind: Die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen
Überabzählbar sind: die reellen Zahlen, aber auch jedes Intervall...
Das kann man sich vielleicht so merken (auch wenn das nicht ganz korrekt ist): abzählbare Mengen sind diskret, bestehen also aus Punkten, die voneinander getrennt sind, während überabzählbare Mengen ein Kontinuum bilden.
Ich hoffe, das hilft dir ein wenig.
unendlich heißt du ganz beliebig lange Elemente deiner Menge aufzählen, ohne eines doppelt zu nennen.
abzählbar heißt, du kannst die Elemente so ordnen, dass du sie aufzählen kannst, also jeder würde nach einer endlichen Zeit einmal dran kommen. Also beispielsweise die natürlichen Zahlen 1,2,3,4.... egal wie groß deine Zahl ist, irgendwann kommt sie, wenn du fleißig zählst dran. Genauso sind die positiven rationalen Zahlen abzählbar. Das ist aber ohne Zeichnung schwer zu erklären. Schau mal bei google.
Überabzählbar heißt nicht abzählbar. Da jede edliche Menge abzählbar ist (du kannst ja einfach alle Elemente aufzählen), muss eine überabzählbare Menge unendlich sein. Also beispielsweise die reellen Zahlen sind überabzählbar.
Abzählbar unendlich heißt abzählbar und unendlich.