Eine Unendlich kann doch nicht größer sein als die andere, weil unendlich immer unendlich ist, oder?
David Hilbert hat ja mal so ein Gedankenexperiment gemacht:
Stellt euch vor, es gibt ein Hotel mit einer unendlichen Zahl an Räumen und unten steht ein Nachtwächter (des Hotels). Eines nachts sind alle Räume des Hotels besetzt, mit einer unendlichen Zahl an Gästen. Dann kommt ein neuer Gast. Der Nachtwächter beschließt, den Gast in Raum eins zu Raum zwei, Raum zwei zu Raum drei zu verschieben und immer so weiter, also Raum n zu Raum n+1. Jetzt hat er genau einen leeren Raum für den neuen Gast.
Das ganze könnte er jetzt für jede endliche Zahl an neuen Gästen tun, aber was, wenn ein unendlicher Reisebus eintrifft? Der Nachtwächter beschließt, jeden Gast von Raum n zu Raum 2n zu verschieben, denn jetzt sind alle ungeraden Räume frei, also unendlich viele.
In seinem Paradoxon erwähnt Hilbert aber auch verschiedene Wege, auf die man Gäste aus unendlich vielen unendlichem Reisebussen unterbringen kann, zum Beispiel indem man jedem Gast den Raum der Nächten Primzahl hoch seiner Sitzplatznummer im Bus gibt, nachdem er jeden bestehenden Gast in Raum 2n geschickt hat. Sagen wir, die Busplatznummer ist i. Jetzt bekommen die Gäste aus dem ersten Bus Raum 3^i, aus dem zweiten Bus 5^i und immer so weiter. Jetzt aber meine Frage:
Wäre das nötig? Bei dem Problem mit dem einen unendlichen Reisebus war das doch auch nicht nötig, und unendlich ist ja immer gleich unendlich?
10 Antworten
Eine Unendlich kann doch nicht größer sein als die andere, weil unendlich immer unendlich ist, oder?
Das stimmt so nicht. Es gibt sogar sehr viele »Unendlichs«, natürlich als Noumene, also als etwas gedachtes, nicht als beobachtbare Phänomene. Unendlich im Sinne von »∞« ist keine Zahl, sondern signalisiert nur, dass eine Größe über alle Schranken wächst, es steht für das potential Unendliche.
Allerdings wird man in der Mathematik auch im Endlichen schon mit dem Unendlichen konfrontiert, nämlich im Zusammenhang mit Mengen. In jedem noch so kleinen Intervall, z.B. [0,ε] mit endlichem positiven ε gibt es unendlich viele rationale und erst recht reelle Zahlen. Und da gibt es in der Tat einen Unterschied.
Ganz allgemein lassen sich zwei Mengen A und B dadurch vergleichen, dass A auf B abgebildet wird. Eine Abbildung
(1) f: A → B, a∈A ↦ b(a)∈B
ist eine spezielle Relation, bei der jedem Element von A genau ein Element von B zugeordnet wird. Veranschaulichen lässt sich dies besonders gut dadurch, dass die Elemente von A als Murmeln und die von B als Mulden (die beliebig viele Murmeln fassen) veranschaulicht werden. Fordern muss man dann nur noch, dass keine Murmel übrig bleibt, denn es ist beim besten Willen nicht möglich, eine Murmel in zwei Mulden zu legen.
Eine Abbildung f heißt injektiv (ein-eindeutig, umkehrbar eindeutig), wenn es zu jedem b∈B auch nur ein a mit b=f(a), kurz b(a) gibt, oder, formaler ausgedrückt,
(2) b(a') = b(a) ⇒ a' = a.
Eine Abbildung f heißt surjektiv, wenn jedes b∈B ein Urbild a mit b=b(a) hat (anschaulich gesprochen bleibt keine Mulde leer).
Eine Abbildung f heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Dann ist sie eine 1:1-Abbildung, und auch
(3) f⁻¹: B → A, b∈B ↦ a(b)∈A.
ist eine Abbildung im Sinne von (1).
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Die Anzahl der Elemente a∈A - im endlichen Fall eine natürliche Zahl - heißt auch die Mächtigkeit oder Kardinalität card(A) oder |A|.
Eine bijektive Abbildung f: A → B gibt es genau dann, wenn |A|=|B| ist.
Ist hingegen |A|<|B|, gibt es keine surjektive Abbildung A → B.
Ist wiederum |A|>|B|, gibt es keine injektive Abbildung A → B.
Das gilt auch für unendliche Mengen wie ℕ, ℤ, ℚ und ℝ (natürlich auch ℂ), deren Kardinalitäten natürlich unendlich sind, aber eben nicht einfach »∞«, sondern es gibt die besondere Bezeichnung ℵ₀. interessanterweise gibt es genauso viele Ganze oder Rationale wie Natürliche Zahlen,
(4) |ℕ| = |ℤ| = |ℚ| = ℵ₀.
Georg Cantor konnte allerdings zeigen, dass es keine 1:1-Abbildung zwischen den Rellen Zahlen und den Natürlichen Zahlen gibt, d.h.
(5) ℵ₀ < 𝖈 = ℵ := |ℝ| = |ℂ|.
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Neben dieser Kardinalitätsgeschichte gibt es auch einen davon völlig unabhängigen Begriff, der der Nichtstandard-Analysis entstammt.
Die unendlichen oder transfiniten Zahlen werden über (standardmäßig als bestimmt divergent zu betrachtende) Folgen definiert und sind wohlunterschieden. Sie stellen die Kehrwerte der infinitesimalen Zahlen dar. Diese sind unendlich nahe bei 0, aber nicht gleich 0, die auch in der Nichtstandardanalysis keinen Kehrwert und auch nicht haben kann.
Hier machst du dir Gedanken, worüber sich schon vor Jahrhunderten Leute den Kopf zerbrochen (und auch viel darüber geschrieben) haben. Hilbert hat sich mit seinen Räumen in verschiedenen Unendlichkeiten bewegt.
Für dich geht es auch einfacher.
Wichtig ist, dass man eine geordnete, unendliche Menge zählen kann, indem man den Elementen die Zahlen ab 1 zuordnet. Da man nie zu einem Ende kommt, spricht man bei ganzen Zahlen im Vergleich zu geraden Zahlen nicht von ihrer Anzahl, sondern von ihrer Mächtigkeit. Und die ist bei positiven ganzen Zahlen und den geraden Zahlen dieselbe, bei den durch 10 teilbaren Zahlen übrigens auch -
usw.
Sie sind also alle gleich mächtig.
Wenn man dann gerade richtig enttäuscht ist, werden in der Schule Zahlen wie √2 und √3 eingeführt, und siehe da! Bei denen schafft man es nicht mehr, die ganzen Zahlen zuzuordnen. Der Beweis ist etwas umständlich; warte mal ab, bis die irrationalen Zahlen im Matheunterricht drankommen. Jedenfalls ist die Mächtigkeit bei denen größer.
Es gibt also durchaus verschiedene Arten der Unendlichkeit.
Hallo,
ich habe mich mit diesem Paradoxon nicht befasst, aber mir erscheint es zunächst nicht als ein Paradoxon.
In dem Beispiel der Hotelräume geht es, wenn ich es richtig interpretiere, um eine abzählbar unendliche Menge von Räumen (Zimmern).
Das "Paradoxon" scheint mir wie ein anderes zu sein, über das hier schon mal diskutiert worden ist. Es ging darum, dass jemand schrieb, dass die geraden natürlichen Zahlen "die Hälfte" aller natürlichen Zahlen seien. Oder die geraden natürlichen Zahlen seien "weniger Zahlen" als alle natürlichen Zahlen.
"Weniger als" und "mehr als" hat bei abzählbar unendlichen Mengen keinen Sinn. Man spricht hier von Mächtigkeit. Alle unendlichen abzählbaren Mengen haben die gleiche Mächtigkeit, da von einer auf eine andere dieser Mengen eine Bijektion existiert. (Wie z.B zwischen ℕ und ℚ, was ja erstmal kontra-intuitiv ist). Man kann jedem Element der einen genau ein Element der anderen Menge zuordnen. Man sagt dann nicht mehr, die Mengen haben "gleich viele" Elemente, man sagt, sie sind gleichmächtig.
Ich bin mir nicht *ganz* sicher, ob das deine Frage trifft, auf die Schnelle erscheint es mir so.
Grüsse
Ich halte mich mal mit dem Beispiel nicht lange auf weil heute ein schöner tag ist. Wenn die Grundlage für eine Unendlichkeit nicht mehr gegeben ist ist die Unendlichkeit beendet, heißt wenn bei der anderen die Grundlage dann noch vorhanden ist, ist auch die Unendlichkeit noch da und somit auch größer. So verstehe ich das und deshalb kann ich es nur so erklären
Hallo deepxpalexblue,
Deine konkrete Frage ist, wenn ich sie richtig verstanden habe, noch nicht ganz klar beantwortet worden. Allerdings haben mathematisch erfahrene User schon sehr Aufhellendes zu verschiedenen Graden der Unendlichkeit (abzählbar unendlich versus nicht abzählbar unendlich) sowie zur Mächtigkeit von Mengen gesagt.
Du fragst bezüglich des letzten von Dir angeführten Beispiels von Hilbert, das sich mit einer unendlichen Menge von Bussen mit jeweils einer unendlichen Menge an Reisegästen befaßt, und in dem Hilbert ein etwas aufwendigeres Verfahren zur Verteilung von Hotelzimmern vorschlägt:
„Wäre das nötig? Bei dem Problem mit dem einen unendlichen Reisebus war das doch auch nicht nötig“.
Als Begründung Deiner Frage führst Du an: „... und unendlich ist ja immer gleich unendlich?“
Zuerst zu Deiner Begründung: Unendlichkeit ist nur ein Konstrukt, ein sinnvolles Handwerkszeug, das sich die Mathematiker gebastelt haben, um bestimmte Aufgaben bewältigen zu können.
Dabei hat sich herausgestellt, daß das Handwerkszeug nur funktioniert, wenn man von verschiedenen Arten der Unendlichkeit ausgeht: Abzählbar unendlich und nicht abzählbar unendlich. (Ich nehme an, daß die Experten noch weitere Unterscheidungen treffen.) Volens hat ja Beispiele für nicht abzählbar unendliche Mengen gebracht.
Willibergi hat darauf hingewiesen, daß man gut aufpassen muß, daß man nicht verschiedene Ebenen durcheinanderbringt, da dies mathematisch nicht definiert ist und somit zu sinnlosen Ergebnissen führt.
Die Aufgabenstellung, mit der sich Hilbert hier befaßt, ist nun offensichtlich, zu untersuchen, ob die Vereinigungsmenge aus einer abzählbar unendlichen Menge (unendlich viele bisherige Hotelgäste) und einer anderen Menge wieder abzählbar unendlich ist.
Wenn sie wieder abzählbar unendlich ist, muß jedes Element dieser Vereinigungsmenge einem Element einer anderen abzählbar unendlichen Menge (Menge der Hotelzimmer) zugeordnet werden können: Die Menge der letztendlich unterzubringenden Hotelgäste muß die gleiche Mächtigkeit haben wie die Menge der zur Verfügung stehenden Hotelzimmer.
Dabei geht er für die neu hinzuzufügende Menge in verschiedenen Stufen vor:
- Sie hat 1 Element
- Sie hat n Elemente, wobei n eine endliche Zahl ist
- Sie hat abzälbar unendlich viele Elemente
- Sie ist die Vereinigungsmenge aus abzählbar unendlich vielen Mengen, wobei jede dieser Mengen abzählbar unendlich viele Elemente enthält
Nun versucht er, für jede dieser Stufen zu zeigen, daß die als Ergebnis entstehende Vereinigungsmenge wieder abzählbar unendlich ist.
Mit Deiner Begründung „... und unendlich ist ja immer gleich unendlich?“ zielst Du, wenn ich Dich richtig verstanden habe, darauf ab, daß jede abzählbar unendliche Menge die gleiche Mächtigkeit hat.
Hilberts Beispiele sind aber gerade deshalb nötig, um zu zeigen, daß die neu entstehenden Vereinigungsmengen immer noch abzählbar unendlich sind.
Beispiel: Du hast eine unendliche Zahl von Schülern. Wenn Du es schaffst, für ein klares System zu sorgen, nach dem jedem Schüler eindeutig eine Nummer zugewiesen wird, ohne daß am Ende ein Schüler ohne Nummer übrigbleibt, so ist die Schülerzahl abzählbar unendlich.
Bei unübersichtlicher aufgebauten Mengen benötigen die Mathematiker oft ziemliche Winkelzüge, um die Abzählbarkeit nachzuweisen.
(Und schwierig wird es auch, bei einer nicht abzählbar unendlichen Menge die Nichtabzählbarkeit nachzuweisen. Man könnte ja einen Winkelzug übersehen haben: Man muß also hundertprozentig nachweisen, daß man nichts übersehen haben kann.)
Nun Deine Frage: Hatte Hilbert bei seinem letzten Beispiel diese Winkelzüge nötig, um die Abzählbarkeit nachzuweisen?
Nein, diese konkreten Winkelzüge hatte er nicht nötig. Du schreibst ja selbst, daß Hilbert verschiedene Wege erwähnt, wie man Gäste aus unendlich vielen verschiedenen unendlichen Bussen unterbringen kann. In dem von Dir angeführten Beispiel zeigt er, daß man sich auch eine etwas skurrile Lösung ausdenken kann: Hauptsache, sie funktioniert. Sicherlich bietet er auch simplere Lösungen an.
Was aber keine Lösuung ist, ist zu sagen: „Das müssen wir nicht genauer untersuchen, denn irgendeine Lösung wird es schon geben, denn unendlich ist sowieso unendlich“. Es muß ja für den konkreten Fall ausgeschlossen werden, daß die Menge unabzählbar unendlich ist. (Zumindest hatte sich Hilbert diese Aufgabe gestellt.)
Grüße von Merkantil
Hallo deepxpalexblue,
danke für Dein Danke und Deine positive Bewertung!
Gruß,
Merkantil
Nein, selbst die algebraischen Zahlen - und √2 und √3 sind algebraisch vom Grad 2 - bilden eine Menge mit der Kardinalität ℵ₀. Erst die transzendenten Zahlen (wie e und π) liefern in ihrer Gesamtheit eine mächtigere Menge.