Teilmenge einer überabzählbaren Menge?

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Zu 1.

Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Menge ist immer abzählbar, das weißt du sicherlich schon? Sonst geht das über das Diagonalverfahren.

A ist die Vereinigung von B und A \ B. Wenn B abzählbar ist und A\B auch, dann ist auch A abzählbar.

Zu 2.

Du hast ja nur drei Möglichkeiten: endlich, abzählbar unendlich, überabzählbar unendlich. Endlich ist nach der Frage ausgeschlossen. Kann die Teilmenge überabzählbar unendlich sein?

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

Die Vereinigung endlich vieler abzählbarer Menge ist abzählbar.

Bei einer Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Menge ist das Diagonalverfahren nicht anwendbar.

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@Roderic

Warum nicht? Ich nenne meine Mengen

A_1 = (a_11, a_12, a_13.... )

A_2 = ((a_21, a_22, a_23.... )

usw.

und schreibe sie genau so als Schema hin:

a_11, a_12, a_13 ...

a_21, a_22, a_23...

a_31, a_32, a_33...

....

Und dann grase ich das mit dem Diagonalverfahren ab, also

a_11, a_12, a_21, a_13, a_22, a_31, usw. usw.

Wo tritt da ein Problem auf? Letztlich wird die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen genau so begründet, oder irre ich mich?

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@FataMorgana2010

Es ist doch auch bei der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen genau so. Ich habe die Menge der gekürzten Brüche mit dem Nenner 2, mit dem Nenner 3, mit dem Nenner 4, usw.

Das sind abzählbar viele Mengen, jede davon ist abzählbar. Und mit dem Diagonalverfahren zeige ich, dass die Vereinigung dieser Menge ebenfalls abzählbar ist.

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@FataMorgana2010

Nein. Du irrst nicht:

Ich hab noch mal nachgedacht und bin auf einen Denkfehler meinerseits gestoßen:

Ich habe Vereinigung mit kartesischem Produkt verwechselt.

Eine Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen enspricht dem kartesischen Produkt von 2 abzählbaren Mengen

Das ist genau die Situation, die du beschreibst und das entspricht exakt der Cantor Diagonalisierung für die rationalen Zahlen.

Damit hast du recht.

Ich verwechselte mit

n-Tupel also kartesische Produkte.

rationale Zahlen entsprechen 2-Tupel. ---> ebenfalls abzählbar.

n-Tupel -- ebenfalls abzählbar. Diagonalisierung einfach n-1 mal hintereinander angewandt.

abzählbar - Tupel - Diagonalisierung nicht mehr anwendbar.

Mein Fehler.

Ich entschuldige mich.

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