Gibt es mehr Ganze Zahlen als Natürliche Zahlen?
Hallo!
Die Menge der Natürlichen Zahlen besteht aus den Zahlen {1, 2, 3, 4, 5, ... } und ist unendlich groß.
Die Menge der Ganzen Zahlen besteht aus den Zahlen {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... } und ist ebenfalls unendlich groß.
Folgender Gedankengang: Die Ganzen Zahlen beinhalten sowohl alle natürliche Zahlen, als auch die jeweilige Negative Zahl (und noch die 0).
Frage: Gibt es daher mehr Ganze Zahlen als Natürliche Zahlen? Sind die Ganzen Zahlen "doppelt unendlich"?
Wenn Nein: Wieso nicht?
6 Antworten
Betrachtet man nicht nur endliche Mengen, sondern auch unendliche, dann spricht man nicht mehr von "gleich vielen Elementen" oder dass sie "gleich groß" wären, sondern von "gleichmächtig". Bzw die "Mächtigkeit einer Menge" entspricht bei endlichen Mengen der Anzahl ihrer Elemente. Unendliches kann man nicht zählen, darum muss man hier erst definieren, was mit "gleichmächtig" gemeint ist.
Man definiert: Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn man mindestens eine Zuordnung zwischen den Elementen von A und B finden kann, sodass weder bei A noch bei B irgendein Element übrigbleibt.
Kürzer: Es muss eine bijektive Abbildung zwischen A und B möglich sein.
Bei deinem Beispiel könnte man es so machen:
1 <-> 0
2 <-> 1
3 <-> -1
4 <-> 2
5 <-> -2
6 <-> 3
7 <-> -3
8 <-> 4
etc
Es gibt zwischen {1, 2, 3, 4, 5, ... } und {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... } eine Zuordnung, sodass beiderseits kein Element übrigbleibt. Per Definition sind diese Mengen also gleichmächtig. Umgangssprachlich mag man meinetwegen auch sagen "die Mengen sind gleich groß".
sicher hat es mehr ganze zahlen. also natürliche. kennste das diagramm nicht mit dem kreis den N Z Q R ect.. die natürliche Zahlen ist die KLEinste Zahlenmenge die ist gibt. (die grösste sind die komplexen so zur info. also inkl. negative wurzel...)
ja weil du musst ja sozusagen wie du schon sagst die natürlichen zahlen doppelt nehmen
GUTE Frage :-)
Aber es gibt nur ein unendlich, weil unendlich eben unendlich viel ist... mit der Vorstellung kommst du da nicht weiter. Z.B. schneiden sich auch zwei Geraden in der Unendlichkeit...
Mich würde aber auch eine korrekte mathematische Beschreibung des Problems interessieren. Nennt man so ne Menge dann "dichter" oder wie unterscheidet man das mathematisch?
2 x unendlich = unendlich; also nein