Ist die Menge ganzer Zahlen Z grösser als die Menge natürlicher Zahlen N?
Gibt es dafür einen mathematischen Beweis?
5 Antworten
Die Menge der natürlichen Zahlen ist zwar in der Menge der ganzen Zahlen enthalten aber beide Mengen sind abzählbar und somit gleich mächtig. Es gibt eine umkehrbar eindeutige Abbildung zwischen diesen Mengen. Die Menge der natürlichen Zahlen ist sogar gleich mächtig wie die Menge der rationalen Zahlen. Die entsprechende Darstellung geht auf Georg Cantor zurück (siehe https://www2.informatik.hu-berlin.de/~koessler/Proseminar/Proseminar2018/WuhnsenPresentationAbzaehlbarkeitRationalerZahlen.pdf). Die reellen Zahlen sind überabzählbar. Es war die Cantorsche Frage ob es zwischen der Menge der ratinalen Zahlen noch eine Menge von Zahlen geben kann, deren Mächtigkeit dazwischen liegt. Diese Fragestellung wird in der Mathematik als Kontinuumshypothese (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Kontinuumshypothese) bezeichnet. Sie hat sich als nicht entscheidbar herausgestellt.
Die von Cantor geschaffene Mengenlehre wurde von David Hilbert als Paradies bezeichet, "aus dem uns niemand mehr vertreiben soll." Diese Vertreibung aus dem mathematischen Paradies wurde dann durch die Gödelschen Unvollständigkeitssätze vollbracht.
Ja , vielleicht bin ich manchmal etwas zu geschwätzig. Ich hoffe dabei immer den Blick auf noch weiterreichende Fragestellungen zu öffnen. Die Bezeichnung gleich viele wird in diesem Zusammenhang vermieden.
ja, in diesem Falle ist Sache aber viel einfacher. Z.B.: 2k -> 1- k und 2k+1 -> k+1 für k=0, 1, 2, .... Dann hat man auf der linken Seite alle natürliche Zahlen abgedeckt und auf der rechten alle ganzen Zahlen. Und die Abbildung ist bijektiv. qed.
Ich ich würde an der Stelle gerne eine Referenz einwerfen von Georg Cantor (den Begründer der Mengenlehre), der das ganze auch bewiesen hat: https://www.whitman.edu/mathematics/higher_math_online/section04.10.html
Das ganze sind also nicht nur irgendwelche wirren aussagen (das ganze ist nämlich wenn man nicht gerade mit der Mengenlehre und den dazugehörigen Fachbegriffen vertraut ist etwas abstrakt), sondern dass wurde sogar von jemanden bewiesen und das von einen der ersten die sich damit beschäftigten.
Der Typ hat der Mächtigkeit dieser Mengen sogar einen Namen gegeben, Aleph_{0}, und damit selbst eine weitere Zahlenmenge, die transfiniten Zahlen, gefunden.
Wurde schon vieles geschrieben, ich wollte noch eine bijektive (also 1 zu 1) Abbildung von den natürlichen auf die ganzen Zahlen vorschlagen, was zeigt, dass die Mengen gleich gross sind.
Die ungeraden der Form 2n-1 bildet man auf n-1 ab, die geraden der Form 2n auf -n.
Das sieht dann so aus, die positiven Zahlen,
n, 2n-1, n-1
1 1 0
2 3 1
3 5 2
...
und die negativen Zahlen
n, 2n, -n
1 2 -1
2 4 -2
3 6 -3
...
nein, die Mengen sind beide abzählbar unendlich. sie sind also gleich groß
Ich werfe dazu nur mal folgende Links ein, auch wenn sich Hilberts Hotel dann zumindest als renovierungsbedürftig erweist. 😉
www.spektrum.de/news/gibt-es-ordnung-unter-den-unendlichkeiten/1667584
https://www.scinexx.de/news/technik/mathematik-unendlicher-als-unendlich/
Die Mächtigkeit ist die Gleiche, wegen der Abzählbarkeit.
Du hast so viel geschrieben, dass die entscheidende Aussage darin fast untergeht:
Das ist das entscheidende Kriterium dafür, ob zwei Mengen gleich viele Elemente haben.