MatheMatikOlympiade?
Von den Zahlen 2023, 2024 und 2025 ist die erste durch die Quadratzahl 289, die zweite durch die Quadratzahl 4 und die dritte durch die Quadratzahl 25 teilbar.
a) Geben Sie drei weitere Beispiele für jeweils drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen an, die jeweils Vielfaches einer Quadratzahl größer als 1 sind.
b) Zeigen Sie: Es gibt sogar unendlich viele Beispiele für drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, die jeweils Vielfaches einer Quadratzahl größer als 1 sind.
c) Finden Sie ein Beispiel mit vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, die jeweils Vielfaches einer Quadratzahl größer als 1 sind.
das ist die Aufgabe 631013 der 10. Klasse Matheolympiade (vorbei). A und B waren eig einfach mit 124, 125, 126 (2, 3, 5 Quadrat ) und dann 1024, 1025, 1026, usw.
Aber bei c hatte ich gar keine Ahnung. Bin jz weiter gekommen und möchte wissen wie man sowas lösen würde. Danke
2 Antworten
Die Lösungen findet man auf
https://www.mathematik-olympiaden.de/moev/aufgaben?view=aktaufg
Ich hatte die Aufgabe auch selbst gelöst, weiß aber nicht mehr wie. Der Ansatz war aber im Prinzip der gleiche.
Auf der Seite "Aufgaben" muss man herunterscrollen bis "Weiterführende Schulen".
Man muss kein Lehrer sein, um da ranzukommen. Die Lösungen stehen dort aber nur für kurze Zeit. Seit dem 3. November, ich weiß nicht, wie lange noch.
Beispiel zu c)
80 223
80 224
80 225
80 226
Und da kann man auch beweisen, dass es unendlich viele Beispiele gibt.
Der Beweis:
80223 = (11*11)*3*13*17
80224 = (2*2)*2*2*2*23*109
80225 = (5*5)*3209
80226 = (3*3)*2*4457
kleinstes gemeinsames Vielfache der Teiler-Quadratzahlen:
(11*11)*(2*2)*(5*5)*(3*3) = 121*4*25*9 = 108900
somit gilt für alle ganzzahligen X:
108900*X+80223 ist teilbar durch 121
108900*X+80224 ist teilbar durch 4
108900*X+80225 ist teilbar durch 25
108900*X+80226 ist teilbar durch 9
Wo findet man die dann? Für das einzige das ich finde muss man ein angemeldeter Lehrer sein