Arithmetisches Mittel?

vierzig aufeinanderfolgende Vielfache von 7 besitzen das arithmetische Mittel 192.5. Gesucht ist das Produkt der kleinsten und der größten dieser vierzig Zahlen

Answer 1

[verreisterNutzer]

Ich hätte das ohne viel nachzudenken so gelöst:

$\frac{1}{40}\sum_{k=n}^{n+39}7k=\frac{7}{40}\left(\sum_{k=1}^{n+39}k-\sum_{k=1}^{n-1}k\right)=\frac{7}{40}\left(\frac{\left(n+39\right)\cdot\left(n+40\right)}{2}-\frac{\left(n-1\right)\cdot n}{2}\right)=$ $\frac{7}{80}\left(n^2+79n+39\cdot40-n^2+n\right)=\frac{7}{80}\left(80n+39\cdot40\ \right)=7n+\frac{7\cdot39}{2}=$ $\frac{385}{2}\ \to\ n\ =\ \frac{1}{14}\cdot\left(385-273\right)=8$

Damit ist das erste Vielfache von 7 die Zahl 7·8 = 56 und das 40. Vielfache von 7 die Zahl 7·(8+39) = 7·47 = 329. Das Produkt der beiden Zahlen ist dann; 56·329 = 18424

Answer 2

[Dogetastisch]

18.424

Kurz. Je die n-te und die (40 - n + 1)-teZahl haben das Mittel 192,5. Deren Summe ist also je 385. Durch 7 geteilt, da alle Vielfache davon sind (so reduziert man das Problem auf 40 direkt aufeinanderfolgende Zahlen) Ergibt 55. Jetzt gilt also für das Paar der ersten und letzten Zahl: x + (x+39) = 55. Also ist x=8 und (x+39)=47. Beide mal 7, um die Zahlen des ursprünglichen Problems zu bekommen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – B.Sc. Mathematik & Informatik

Comments

[eterneladam]

Elegant

Answer 3

[Rubezahl2000]

56 • 329 = 18.424