verreisterNutzer
09.11.2023, 16:38
Mathemathikolympiade?
Von den Zahlen 2023, 2024 und 2025 ist die erste durch die Quadratzahl 289, die zweite durch die Quadratzahl 4 und die dritte durch die Quadratzahl 25 teilbar.
a) Geben Sie drei weitere Beispiele für jeweils drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen an, die jeweils Vielfaches einer Quadratzahl größer als 1 sind.
b) Zeigen Sie: Es gibt sogar unendlich viele Beispiele für drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, die jeweils Vielfaches einer Quadratzahl größer als 1 sind.
c) Finden Sie ein Beispiel mit vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, die jeweils Vielfaches einer Quadratzahl größer als 1 sind. 

Das ist die Aufgabe 631013 der 10. Klasse Mathematik-Olympiade vorbei. A und B waren eigentlich einfach mit 124, 125, 126 (2², 3², 5²) und dann 1024, 1025, 1026, usw.

Aber bei C hatte ich gar keine Ahnung. Bin jetzt weiter gekommen und möchte wissen, wie man sowas lösen würde. Danke

 ...zum Beitrag
Antwort
von reddmann
31.12.2024, 16:39

Ist das nicht trivial?

https://de.wikipedia.org/wiki/Chinesischer_Restsatz

Lose gesprochen, können wir ggt-freie Module (also hier z.B. 2^2,3^2,5^2) nach Belieben kombinieren, so daß z.B. x = 0 mod 4, x+1= 0 mod 9, x+2=0 mod 25. Es gibt damit beliebig viele aufeinanderfolgende Zahlen, die durch ein Primquadrat teilbar sind, weil es unendlich viele Primzahlen gibt. Es gibt sogar beliebig viele aufeinanderfolgende Zahlen mit vorgegebenen Abständen! Das Finden der Zahlen über den Chinesischen Restsatz ist sogar konstruktiv. Python-Experiment:

p1=7

p2=11

p3=13

for i in range(10000000):

   if i%(p1**2)==0 and i%(p2**2)==1 and i%(p3**2)==2:

       print(i)

(Output: 992201+1001^2*k)

Hauke

 ...zur Antwort