2 Mal Unendlich?
Wie kann es sein, dass es unendlich viele gerade Zahlen gibt, aber trotzdem weniger als alle natürlichen Zahlen, obwohl beide unendlich sind? Ich kann es mir ja eigentlich vorstellen aber wie seht ihr das?
9 Antworten
Noch verrückter wird es, wenn behauptet wird, du hast unendlich viele Kugeln, von denen jede 100. rot sei.
Und gleich darauf behauptet wird, daß die Roten Kugeln genausoviele sind, wie die anderen, da es ja beidemale unendlich viele seien.
Vorsicht mit dem Begriff "unendlich viele".
Es gibt genau so viele rationale Zahlen wie es ganze Zahlen gibt.
Aber es gibt mehr reelle Zahlen als es rationale Zahlen gibt.
Zum Glück haben die Menschen die Mathematik erfunden, und können anhand einer Stichprobe die Anteile bestimmen.
Und daß wir nicht mehr: "eins, zwei, drei, vier, viele" zählen, und dann 5 genausoviel wie 500 sein sollen.
Sind ja nach gründlicher Zählung beidemale "viele", und daher gleich viel.
Ja das stimmt zählen zählt man einfach egal wie viele Zahlen
Entscheidend ist, ob es eine umkehrbar eindeutige Abbildung der Elemente der einen Menge auf die Elemente der anderen Menge gibt. Genau dann haben die beiden Mengen die gleiche Anzahl Elemente, selbst dann wenn es unendlich viele sind.
aber trotzdem weniger als alle natürlichen Zahlen
Das sehen all die, die bei unendlichen Mengen aufgepasst haben, etwas anders.
Mit Intuition und Vorstellungskraft hat das nicht unbedingt zu tun. Ich kann zwar herleiten, dass beide Mengen gleichmächtig sind. Aber vorstellbar ist es mir trotzdem nicht.
Unendlichkeiten verhalten sich nicht intuitiv - letztendlich gibt es genauso viele gerade wie natürliche Zahlen, da man eine bijektive Abbildung (eine ein-eindeutige Zuordnung) zwischen den beiden Mengen finden kann…
Ja so sehe ich das auch mit logischen nachdenken versteht man das es eben einfach unendlich ist
Es gibt aber echt grössere Unendlichkeiten - so gibt tatsächlich mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen, weil man hier keine ein-eindeutige Zuordnung mehr zwischen den Mengen finden kann…
Ja verstehe ich danke aber auch oft über unendlichen Raum also unendliches Volumen nach Raum in alle Richtungen 🤩
(Ich nehme an, mit "gerade Zahlen" meinst Du gerade natürliche Zahlen, also positive gerade Zahlen, nicht gerade ganze Zahlen.) Ob es "weniger" gerade natürliche Zahlen gibt als natürliche Zahlen insgesamt, kommt darauf an, was man unter "weniger" versteht: Im Sinne von Mengeninklusion gibt es "weniger" gerade natürliche Zahlen als natürliche Zahlen, denn die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen. Aber im Sinne von Kardinalität gibt es nicht weniger gerade natürliche Zahlen als natürliche Zahlen, sondern genausoviele, denn beide Mengen sind abzählbar unendlich, haben also die Kardinalität Aleph null.
Bertrand Russell hat das einmal schön veranschaulicht: Nehmen wir an, in einem Hotel gibt es abzählbar unendlich viele Zimmer. Das Hotel ist voll belegt, also in jedem Zimmer wohnt ein Gast. Nun kommt ein Reisender in das Hotel und fragt nach einem Zimmer. In einem endlichen Hotel, das voll belegt ist, müßte man den Reisenden jetzt abweisen. Nicht so im "Hotel zur Unendlichkeit": Der Hotelinhaber bittet einfach alle Gäste, ein Zimmer weiterzuziehen. Es murren zwar die Gäste, doch tun sie wie geheißen: Der Gast aus Zimmer 1 zieht in Zimmer 2, der bisherige Gast in Zimmer 2 zieht in Zimmer 3, und so weiter. Der Gast in Zimmer n zieht also in Zimmer n+1. Dadurch wird Zimmer 1 frei, da kann dann der Reisende einziehen.
Nun stellen wir uns aber vor, vor dem "Hotel zur Unendlichkeit" hält ein abzählbar unendlicher Reisebus mit abzählbar unendlich vielen Fahrgästen, die alle ein Zimmer haben wollen. Wieder ist das Hotel voll belegt, aber wieder kann Abhilfe geschaffen werden: Jetzt zieht einfach jeder Gast in das Zimmer mit der doppelten Zimmernummer seines bisherigen Zimmers. Der Gast aus Zimmer Nummer 1 zieht in Zimmer Nummer 2, der bisherige Gast aus Zimmer Nummer 2 zieht in Zimmer Nummer 4, der bisherige Gast aus Zimmer Nummer 3 zieht in Zimmer Nummer 6, und so weiter. Der Gast in Zimmer n zieht also in Zimmer 2n. Jetzt sind nur noch die Zimmer mit den geraden natürlichen Zimmernummern belegt, also die Zimmer 2, 4, 6, 8, ... In die freien Zimmer mit den ungeraden Zimmernummern 1, 3, 5, 7, ... können jetzt die abzählbar unendlich vielen neuen Gäste einziehen.
Ja das ist ein tolles Beispiel aber ein wenig verwirrend denn wen In einem Hotel mit unendlich Zimmern unendlich Menschen wohnen dann sind zwar unendlich Zimmer besetzt aber es wurde ja trotzdem immer weiter gehen
Hallo,
da Du jeder natürlichen Zahl durch Verdoppeln eine gerade Zahl zuordnen kannst, sind beide Mengen gleichmächtig.
Herzliche Grüße,
Willy
Das ist eine logische Erklärung denn letztendlich sind es ja immer unendlich Danke Willy
Ja das stimmt aber das ist ja eigentlich logisch denn unendlich ist ja unendlich also auch jede Hundereuter Kugel würden unendlich viel Kugeln sein unvorstellbar oder ?