Die Frage ist wirklich erfreulich, denn wer sie stellt, zeigt damit, dass er das Relativitätsprinzip so weit verstanden hat.

Da jedoch kein System bevorzugt ist, könnte man doch auch sagen, dass die Erde sich bewegt hat und auf der Erde erst 10 Jahre vergangen sind, oder etwa nicht?

Die Überlegung ist fast richtig, aber eben nur fast (die Überlegung, die du hier anstellst, ist übrigens namensgebend für die Bezeichnung "Zwillingsparadoxon"). Der Punkt ist, dass die Symmetrie, die du hier formulierst, nur für geradlinig-gleichförmige Bewegung gilt. Doch wenn es zwei Begegnungen gibt (am Anfang sind beide zusammen, denn entfernen sie sich voneinander , am Schluß sind wieder beide zusammen), dann war die Bewegung im ganzen ja keine geradlinig-gleichförmige Bewegung.

Ich hatte schon mal ein bisschen mehr dazu geschrieben (auf eine ähnliche Frage): http://www.gutefrage.net/frage/zeitdilatation-herleitung-der-formel-und-anwendung-am-zwillingsparadoxon

Wie die Zeitdifferenz im Einzelnen zu erklären ist, könntest du in einem Buch zur Relativitätstheorie nachlesen (ggf nach Titeln fragen), oder auch bei wikipedia unter "Zwillingsparadoxon", das ist da auch ganz gut erklärt.
Die Erklärung läuft darauf hinaus, dass der Wechsel des Inertialsystems für die Zeitdifferenz verantwortlich ist, und nur einer der beiden so einen Wechsel durchführt.

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r² t² - rt - 0,7t²r² + 2,1r²t² = 2,4r² t² - rt

Evt noch ausklammern:

2,4r² t² - rt = rt(2,4rt - 1)

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f (x)= (Wurzel x) * (2x+5)

Das kannst du natürlich nach der Produktregel ableiten. Es geht aber auch so:

(Wurzel x) * (2x+5) =

x^(1/2) * (2x+5) =

2x^(3/2) + 5x^(1/2)

Summandenweise abgeleitet ergibt das:

3x^(1/2) + 5/2 x^(-1/2)

Das jetzt 0 setzen:

3x^(1/2) + 5/2 x^(-1/2) = 0 | * x^(1/2)

3x + 5/2 = 0

x = -5/6

Dieser Wert liegt aber nicht im Definitionsbereich der Funktion, da Wurzel(-5/6) nicht definiert ist. Also hat f keine Extremstelle.

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Welche denn?


Ich sehe nicht, woher zwei der User hier die Gleichung x²-x=0 genommen haben, aber beide haben sie unvollständig glöst, es gibt da nämlich zwei Lösungen. Man kann sie natürlich mit der pq-Formel o.ä. lösen, aber am einfachsten ist es so:

x² - x = 0 | ausklammern

x(x-1) = 0

  • Ersten Faktor 0 setzen: x=0
  • zweiten Faktor 0 setzen: x-1=0 ---> x=1

Die Lösungen sind 0 und 1.

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use strict;
use warnings;

my @meinArray =
  (
   "Mein Name ist Xyz",
   "Ich mag Katzen.",
   "Der Name meiner Katze ist Luna."
  );

my @suchErgebnis = grep(/\bName\b/, @meinArray);

foreach my $str (@suchErgebnis) {
  print("$str\n");
}

Falls du sie nur ausgeben willst, geht es auch so:

use strict;
use warnings;

my @meinArray =
  (
   "Mein Name ist Xyz",
   "Ich mag Katzen.",
   "Der Name meiner Katze ist Luna."
  );

foreach my $str (@meinArray) {
  print("$str\n") if $str =~ /\bName\b/;
}
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Das "/" ist keine echter Bruchstrich (echte Bruchstriche gibts bei gf leider nicht), darum solltest du zusätzliche Klammern verweden, sonst weis man nicht, was in Zähler bzw im Nenner stehen soll. Bei dir kann man es wegen der Lösung -26/3 noch erraten:

4 / (3(x-3)) = (x+10) / (x-3) | mal Hauptnenner, 3(x-3), und kürzen:

4 = 3(x+10)

4 = 3x+30

-26 = 3x

x = -26/3

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6^5 x 3^-5 als potenz mit gleichem exponenten....

Wahrscheinlich wolltest du ein Produkt aus Potenzen mit gleichen Exponenten.

3^-5 = | Regel für negative Exponenten

1 / 3^5 = | beachte, dass 1 = 1^5

(1/3)^5

Und damit bekommst du:

6^5 * 3^-5 = 6^5 * (1/3)^5

Und dann kannst du auch die Regel für Produkte aus Potenzen mit gleichen Exponenten anwenden:

6^5 * (1/3)^5 = (6 * 1/3)^5 = (1/2)^5 = 1 / 2^5 = 1 / 32

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Wenn zwei Raketen direkt von einander weg fliegen würden, jede mit Lichtgeschwindigkeit

Das geht nicht.

oder minimalst darunter,

Das ist ok.

der anderen Rakete schaut garnichts sehen, ein Standbild, oder was.?

Man sieht die andere Rakete.

Geschwindigkeiten müssen relativistisch addiert werden (die entsprechende Formel kannst du Interesse nachschlagen). Und das führt dazu, dass wenn Rakete A relativ zur Erde mit 99,99…9% Lichtgeschwindigkeit in die eine Richtung, Rakete B relativ zur Erde mit 99,99…9% Lichtgeschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung fliegt, dann dennoch Rakete B von A ausgesehen immernoch unterlichtschnell ist. Man bekäme zwar einen etwas höheren Wert als von der Erde aus gesehen, aber eben immernoch 99,99999…999% Lichtgeschwindigkeit (einige 9er mehr nach dem Komma).

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Ableitung f(x)=(e^x:x) * 4x

Ist das genau so gemeint? Also anders geschrieben:

f(x)=(e^x / x) * 4x

So?

Dann kürzen sich doch die beiden hinteren x weg:

f(x)=(e^x / x) * 4x = e^x * 4 = 4e^x

Und davon die Ableitung ist eben wieder 4e^x. Denn 4 ist ein Faktor, der bleibt sowieso stehen; und die Ableitung von e^x ist wider e^x.

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Gib eine Funktion an, die die Ableitungsfunktion f'(x)= 2-x+3x²

Es ist zwar nicht zwingend, aber üblich (und übersichtlicher) wenn man die Terme so sortiert:

f '(x)= 3x² - x + 2

f selbst wäre dann:

f(x) = x³ - x²/2 + 2x + C,

wobei C eine frei wählbare Konstante ist (Integrationskonstante).

a) durch den Ursprung verläuft.

Das soll gelten: f(0) = 0. Also x=0 einsetzen:

0³ - 0²/2 + 2*0 + C = 0

C = 0

also:

f(x) = x³ - x²/2 + 2x

b) durch den Punkt P(2|-3) verläuft.

Das soll gelten: f(2) = -3. Also x=2 einsetzen:

2³ - 2²/2 + 2*2 + C = -3

Das ausrechnen und nach C auflösen kannst du selbst.

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Als Ergebnis habe ich dort 35x^7 raus.

Richtig.

Und vor allem, was ist das angewandte Potenzgesetz?

a^m * a^n = a^(m+n)

Da ja weder die Basis, noch der Exponent übereinstimmen.

Die Basen sind gleich. Die Basis ist jedesmal x.
5x^4 heißt "5 mal x^4", nicht "(5x) hoch 4". Potenzieren hat Vorrang vor der Multiplikation.

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Schreibt man hier einfach |^1/3 oder wie ist das mathematisch korrekt?

Was nach diesem senkrechten Strich kommt, ist ja nicht Teil der Gleichung bzw der Rechnung, sondern nur ein Kommentar, der dem besseren Verständnis dient. Und das heißt dann auch, dass du da eine gewisse Freiheit hast. Du kannst dein "hoch 1/3" hinschreiben, oder in Worten "dritte Wurzel", oder auch das Symbol für die dritte Wurzel (also das Wurzelzeichen mit der kleinen 3). Die letzteren beiden Variante finde ich schöner als "hoch 1/3" , aber wenn's dir besser gefällt, kannst du auch das nehmen.

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Das sind nur Ersatzzeichen, die man verwendet, wenn man keinen richtigen Formelsatz hat. Man verwendent dann "*" für die Multiplikation, "^" fürs Potenzieren und "/" für die Division bzw für den Bruchstrich (jedenfalls meistens haben die Zeichen diese Bedeutung, Abweichungen sind aber möglich). Die Zeichen werden auch in vielen Programmiersprachen so verwendet - aber nicht immer. In der Programmiersprache C zB steht "^" für das bitweise exklusive oder.

Man sollte auch die Vorrangrelgeln ("Punktrechnung vor Strichrechnung" etc) beachten und Klammern setzen. Man braucht zB bei der Verwendung von "/" und "^" zusätzliche Klammern, die man bei der "richtigen" Formelschreibweise nicht braucht.

Du hast zB mit "a^1/2" wahrscheinlich "a hoch einhalb" gemeint. Tatsächlich würde das aber wegen der Vorrangregeln heißen:

"a hoch 1; und das dann durch durch 2", was dann gleich a/2 wäre.

Wenn du also dein "2*a^1/2" in einer Programmiersprache oder in einem Formelrechner wie Wolfram Alpha verwenden würdest, käme was anderes raus, als du vermutlich wolltest. Wenn das wirklich heißen soll "2 mal a hoch einhalb", dann muss das heißen:

2*a^(1/2)

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Ist richtig.


Bemerkung: man müsste eigentlich bei dieser Definition:

D=[0, 1], f(x) = die zweite Nachkommastelle in der Dezimaldarstellung von x.

Noch hinzufügen, dass "Periode 9" keine gültige Dezimaldarstellung sein soll. Sonst wär's nämlich keine Funktion. Ich hätte zB

0,01 = 0,00[Periode]9

Man hätte dann zwei Dezimaldarstellung derselben Zahl, und einmal wäre die die zweite Nachkommastelle 1, das andere mal 0. Solange "Periode 9" nicht ausgeschlossen ist, ist die Dezimaldarstellung einer Zahl nicht eindeutig bestimmt.

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Nennen wir a:=f(0), also auch a=f(1), da ja f(0) = f(1) gelten soll.

Definiere: g(x) = f(x) - f(x + 1/2) für alle x aus [0; 1/2].

Dann haben wir:

g(0) = f(0) - f(1/2) = a - f(1/2)

und

g(1/2) = f(1/2) - f(1) = f(1/2) - a = -(a - f(1/2)) = -g(0)

Falls a=f(1/2) ist, ist f(x) = f(x + 0.5) erfüllt für x=0. Falls nicht, haben g(0) und g(1/2) verschiedene Vorzeichen, und laut Zwischenwertsatz muss es dann ein x aus [0; 1/2] geben mit g(x) = 0. Das heißt denn aber f(x)=f(x+1/2) für dieses x.

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(-12e^x + 108e^(3x)) / ((1 + 3e^x)^4) = 0 | · (1 + 3e^x)^4

-12e^x + 108e^(3x) = 0 | ausklammern

e^x (-12 + 108e^(2x)) = 0

e^x wird nie 0, daher brauchen wir nur den zweiten Faktor 0 zu setzen:

-12 + 108e^(2x) = 0

108e^(2x) = 12 | :108

e^(2x) = 12/108 | kürzen

e^(2x) = 1/9 | Potenzgesetz

(e^x)² = 1/9 | Wurzel

e^x = +- 1/3

e^x wird nie negativ, also entfällt -1/3.

e^x = 1/3 | logarithmieren

x = ln(1/3)

Und: Probe machen!

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n^2 + n ist gerade

"n^2 + n ist gerade für alle n€N".

kann ich dann schreiben -> n^2 + n mod 2 = 0?

Ja. Nur: "n^2 + n mod 2 = 0 für alle n€N.

Und: "n^2 + n ist gerade für alle n€N" ist eben so gut. Ich würde es sogar eher so schreiben. Verwende nicht mehr Formelkram als nötig.

Ich muss ja beide seiten um 1 erweitern

Nein, sondern du willst von k nach k+1 übergehen. "Es sei k€N eine Zahl, für die die zu beweisende Behauptung zutrifft." So oder so ähnlich kannst du das formulieren.

Dann diesen Term bilden::

(k+1)² + (k+1)

Das willst du untersuchen. Du musst versuchen so umzuformen, dass du dein k² + k mod 2 = 0 verwenden kannst.

(k+1)² + (k+1) = k² + 2k + 1 + k + 1 = k² + k + 2k + 2 = k² + k + 2(k+1)

Die Summe beginnt mit k²+k. Das ist nach Induktionsvoraussetzung gerade. Dazu wird eine gerade Zahl addiert, nämlich 2(k+1). Folglich ist die Summe ebenfalls gerade.
q.e.d

Beachte: Man braucht das "mod 2" nicht, bzw, man rechnet nicht damit (obwohl das natürlich möglich wäre). Verbales Argumentieren reicht hier. Selbstverständlich ist es nicht falsch, das "mod 2" zu verwenden und man könnte obige Argumentation entsprechend umformulieren - aber ich finde nicht, dass der Beweis dadurch einfacher würde.

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Wenn sie voreinander Halt machen würden, würden dann die Uhren ja für den einen Beobachter unterschliedlich laufen, und für den anderen Beobachter normal.

Sie zeigen verschiedene Zeit an, laufen aber gleich schnell.

Das kann aber ja nicht möglich sein, weil sie sich dann ja beide in einem Inertialsystem befinden.

Nicht wärend bei dem einen Raumschiff die Triebwerke donnern. Während dieser Phase befindet sich das Raumschiff nicht in einem Inertialsystem. Der Gang der Uhren gleicht sich dann an, und wenn es schließlich relativ zu diesen Uhren zur Ruhe gekommen ist, sind beide Uhren auch relativ zu diesem Raumschiff synchron.

Das Raumschiff wechselt das Inertialsystem. Es befindet sich vorher in einem anderen als nachher. Der Wechsel des Inertialsystem ist auch für das Zwillingsparadoxon wesentlich. Mit deinem Beispiel bist du sozusagen auf dem halben Weg zum Zwillingsparadoxon.

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Das ist mehr ein Streit um die Interpretation der Aufgabenstellung.

Wichtiger ist aber, ob ihr den Funktionsbegriff verstanden habt.

Das ist eine Funktion, da jeder nur eine Telefonnummer hat

Das ist die richtige Begründung, wenn wir voraussetzen, dass tatsächlich jeder nur eine Telefonnummer hat.

und nicht 2 die gleiche.

Das ist nicht das Problem und gehört nicht zur Definition. Mehrere Elemente aus dem Definitionsbereich können den gleichen Funktionswert haben. Nur umgekehrt darf man nicht einem Element aus dem Definitionsbereich mehrere Funktionswerte zuordnen.

Dh, wenn obige Voraussetzung stimmt, jeder hat nur eine Tel.Nummer, dann wäre es gar keine Problem, wenn sich mehrere Freunde eine Nummer teilen würden. Es wäre trotzdem eine Funktion.

Deswegen meine Frage wer hat nun Recht ist das mit meiner Begründung eine Funktion?

Das, wie gesagt, ist Interpretationssache.

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Wenn du in der 10ten bist, dann hattet ihr schon irrationale Zahlen. Ihr habt (hoffentlich) gelernt, dass sie so definiert sind:

  • Eine Zahl heißt irrational, wenn sie nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen (gewöhnlicher Bruch) geschrieben werden kann.

Da stellt sich die Frage: Gibt es überhaupt irrationale Zahlen? Wenn sich jede Zahl als gewöhnlicher Bruch schreiben ließe, dann wäre die Menge der irrationalen Zahlen leer, und der ganze Begriff wäre sinnlos.

Du könntest hier den Beweis von Euklid für die Irrationalität von Wurzel(2) nehmen. Der ist schön einfach, und wahrscheinlich hattet ihr den schonmal.


Eine andere Menge, die man betrachten könnte, wäre die Menge der Primzahlen. Bei dieser könnte man sich fragen, ob die wohl endlich viele oder unendlich viele Elemente hätte.

Der Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, stammt ebenfalls von Euklid. Auch dieser Beweis ist einfach und für ein Referat / eine Präsentation problemlos geeignet.


Ein weiteres mögliches Thema wäre etwas, was man manchmal "Rechenbereiche" nennt, vor allem in der Schule nennt man das so.

Nimm mal die Menge der natürlichen Zahlen. Solange du in dieser Menge nur mit "Plus" und "Mal" herumrechnest, gibts immer ein Ergebnis, und zwar eines, das eine natürliche Zahl ist. Man braucht gar nicht mehr.

Aber dann willst auch "Minus" rechnen. Und plötzlich geht es nicht mehr in jedem Fall. 12-5 geht, 4-7 aber nicht. Man muss die Grundmenge vergrößern (erweitern), damit es wieder immer geht. Man nimmt die negativen hinzu, und kommt zu den ganzen Zahlen.

Aber jetzt willst du auch dividieren. Wieder gehts nicht immer: 12:3 geht, 3:5 geht nicht. Wieder muss die Menge erweitert werden, du kommst zu den rationalen Zahlen.

In dieser Menge kannst du nun mit allen vier Grundrechenarten herumrechnen, wie du willst, und es geht immer (nur die Einschränkung, dass du nicht durch 0 teilen darfst, die wirst du nicht los).

Wenn man nun zum Potenzieren und Wurzelziehen übergeht, dann reichen die rationalen Zahlen wieder nicht. Wurzel(2) zB ist keine rationale Zahl, womit wir wieder bei Euklid wären.

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Also auf f'(x)=0

Das ist eine notwendige Bedingung für eine Extremstelle, aber sie ist nicht hinrichend, denn es könnte auch ein Sattelpunkt sein.

Beispiel hierfür f(x)=x³.

f'(x)=0 und f''(x) <> 0

Dass, (falls wir schon f'(x)=0 haben) f''(x) <> 0 ist, ist eine hinreichende Bedingung für eine Extremstelle, aber sie ist nicht notwendig. Es könnte f´(x)=0 und f´´(x)=0 sein, und die Funktion kann da trotzdem eine Extremstelle haben.

Beispiel hierfür: f(x)=x^4.

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Die Zeitdialation zur erklären, und erst recht das Zwillingsparadoxon, das sprengt bei weitem den Rahmen einer gf-Antwort. Frag nach einem guten Buch zum Thema, oder zumindest nach einer guten Web-Site.

Für einen allerersten Überblick kannst du auch auch die wikipedia-Artikel zu den beiden Stichworten nachlesen. Ein gewisses physiklalisches Verständnis braucht man für die wiki-Artikel aber schon.


Aber jetzt zu deiner Frage wegen dem Altern: Nein, man altert nicht langsamer.

"Man" altert nicht schneller oder langsamer durch irgendwelche Geschwindigkeiten. Die Geschwindigkeit des Alterns eines Organismus muss sinnvollerweise in der Eigenzeit dieses Organismus gemessen werden, dh in Bezug auf dessen Uhr und nicht in Bezug auf die Uhr von irgendjemand anderem. Du misst deine Alterungserscheinungen ja auch an deinem Alter und nicht am Alter zB deiner Oma.

Richtig ist natürlich, dass wenn A sich relativ zu B bewegt (nehmen wir wieder geradlinig-gleichförmige Bewegung), dann die Alterungserscheinungen von A betrachtet im Bezugssystem von B langsamer auftreten, als bei einem gleichartigen Organismus, der relativ zu B ruht. Daraus kann man aber nicht machen, A altere lansamer. Zumal umgekehrt im Bezugssystem von A die Alterungserscheinungen B verlangsamt auftreten.

Der Witz ist einfach, dass die Alterungsgeschwindigkeit sowieso immer in Bezug auf die Eigenzeit des Organismus (also in Bezug auf eine Uhr, die relativ zu dem Organismus ruht) bestimmt wird, und sich damit die Frage des schneller oder langsame Alterns aufgrund relativistischer Effekte gar nicht erst stellt.


Nochmal zurück zu deinen Zwillingen:

während sich der andere in einer Rakete mit nahezu Lichtgeschwindigkeit ein Jahr um die Erde bewegt. Bei seiner Rückkehr aus dem all, ist er (logischerweise) ein jahr gealtert,

Etwas schwammig formuliert... Du setzt hier voraus, dass auf der Borduhr 1 Jahr vergangen sei. Anschließend setzt du voraus, dass auf der kann 20 - 30 Jahre (nehmen wir 30) vergangen seinen. Soweit, so gut.

ist er (logischerweise) ein jahr gealtert,

Er hat ein Jahr durchlebt, und ist folglich 1 jahr gealtert.

sah aus als ob er 20 - 30 Jahre gealtert ist.

Er sieht nicht so aus "als ob", sondern er hat 30 Jahre durchlebt und ist damit natürlich auch um diese 30 Jahre gealtert.

für mich ergibt das alles kein sinn.... Desshalb würde ich mich sehr auf hilfreiche antworten freuen, die mir das alles VERSTÄNDLICH erkläre würden. Vielen dank :)

Kauf dir ein Buch zum Thema. Es ist nicht möglich, die Relativitätstheorie im Rahmen einer gf-Antwort zu erklären, schon gar nicht, wenn's versändlich sein soll.

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Du fragst wahrscheinlich nach den nachkommastellen

Drei mögliche Fälle:

  1. Es geht auf, zB 20:4 = 5. Eine ganze zahle, keine Nachkommastellen.
  2. Endlich viele Nachkommastellen, zB 5:4=1,25
  3. Unendlich viele Nachkommastellen, die aber ab irgendeiner Stelle periodisch sind. zB 5:6=0,833333... oder 17:99=0,171717171717171717....
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Einfache Antwort: man hat es so definiert, weil das in vielen Formeln günstig ist.

Ein andere Antwort wäre:

(n-1)! · n = n!,

also:

(n-1)! = n!/n

Das gilt erstmal für n>1. Setzen wir nun trotzdem mal n=1 ein, dann ergibt das:

(1-1)! = 1!/1

0! = 1

Das ist jetzt kein "Beweis", aber es sagt einem, dass die Definition 0!:=1 sinnvoll ist.

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0,1010010001... und bei 0,0101101110...

Die Pünktchen deuten an, dass die Regel, die man da ablesen kann, immer fortgesetzt werden soll:

  • 0,1010010001... jeweils eine 0 mehr vor der nächsten 1.
  • 0,0101101110... jeweils eine 1 mehr vor der nächsten 0.

Damit hat man zwei Dezimalzahlen, die unendlich und nicht-periodisch sind, also sind sie irrational.

Um die Summe zu bilden, schreiben wir sie direkt untereinander (was hier recht einfach geht, weil es keine Überträge gibt):

0,1010010001... 
0,0101101110...
------------------------------
0,11111111111...

Man sieht, dass immer eine 1 unter einer 0 bzw eine 0 unter einer 1 steht. Also ergibt sich als Summe 0,11111111111... bzw 0,[periode]1, und von solchen Zahlen hat man schon in der sechsten Klasse gelernt, dass sie rational sind.

0,[periode]1 = 1/9.

Wenn's etwas "mathematischer" sein soll, kannst du die Zahlen als Potenzreihen hinschreiben. Die Kommazahlen oben sind ja auch nur Kurzschreibweisen für Potenzreihen.

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Überleg dir das mal so:

Es kommt in beiden Formeln sqrt(1-v^2/c^2) vor, wobei dieser Wert in der ersten Formel im Nenner steht. In der zweiten wird damit multipliziert.

Wir wissen, dass v immer kleiner als c ist (und größer/gleich 0, weil wir hier nur den Betrag der geschwindigkeit nehmen):

0≤v<c

Also ist der Bruch v/c immer kleiner als 1, und wenn wir den quadrieren, gilt das immer noch:

0≤v²/c²<1

Dies wird von der 1 abgezogen, das bleibt positiv und kleiner als 1:

0≤1-v²/c²<1

die Wurzel daraus ist dann auch kleiner als 1:

0≤sqrt(1-v²/c²)<1

Der Kehrwert (erste Formel) ist dann natürlich größer/gleich 1:

1/sqrt(1-v²/c²) ≥1

Es gilt daher:

  • Die erste Formel ergibt: t'≥t
  • Die zweite ergibt: delta t' ≤ delta t

t ist immer die Zeit, die gegeben ist, t' ist die Zeit, die berechnet werden soll.

Nun weißt du ja: "Bewegte Uhren gehen langsamer". Daher (immer genommen in deinem Bezugssystem):

  • Fragst du "Wenn auf meiner Uhr zB 1 Jahr vergangen ist, wieviel Zeit ist dann auf der Raumschiffuhr vergangen?" - so weißt du, dass das Ergebnis kleiner als 1 Jahr sein muss - also die zweite Formel .
  • Fragst du "Wenn auf der Raumschiff-Uhr zB 1 Jahr vergangen ist, wieviel Zeit ist dann auf meiner Uhr vergangen?" - so weißt du, dass das Ergebnis größer als 1 Jahr sein muss - also die erste Formel .
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Bei einer Funktion muss jedes Element des Definitionsbereichs genau einen Funktionswert haben.

Es sei D N.

Der Definitionsbereich ist die Menge der natürlichen Zahlen.

Jedem x E D werden duehebigen der drei auf x folgenden Zahlen die durch drei teilbar sind.

Das ist deine Zuordnung. Nimm zB x=4. Die drei darauf folgenden Zahlen sind 5, 6 und 7. Nur die 6 ist durch 3 teilbar. Also wäre hier der 4 die 6 zugeordnet. So funktioniert diese Zuordnung

Du musst feststellen, ob das auch eine Funktion ist. Dazu musst du schauen, ob jeder natürlichen Zahl genau eine Zahl zugeordnet ist, dh ob von den drei aufeinander folgenden Zahlen immer genau eine durch 3 teilbar ist. Betrachte ein paar Beispiele, dann wird sicher klar, dass das so ist.

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-0.25 x2 + 2x - 4

Das soll sicher "x hoch 2" heißen, oder?

-0.25 x² + 2x - 4 = 0 | ·(-4)

x² - 8x + 16 = 0

Das ist jetzt günstig, weil man hier direkt die zweite binomische Formel verwenden kann (dh, es geht hier ohne pq-Formwl o.ä).

x² - 8x + 16 = 0 | zweite binomische Formel

(x - 4)² = 0

x - 4 = 0

x = 4

Es gibt eine Nullstelle, nämlich x=4.

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Zunächst mal: Das ist eine Funktion mit einer Variablen (dem x) und einem Parameter (dem a).

x³- 3a²x+2a³= 0

Das wäre der Ansatz. Nun steht da x³. Für solche Gleichungen (Gleichungen dritten Grades) gibt es zwar eine Lösungsformel, die aber irrsinnig kompliziert ist und darum nur selten verwendet wird. Besser, man versucht eine Nullstelle zu erraten und macht dann eine Polynomdivison.

Man würde es hier zunächst mit x=a versuchen. Das eingesetzt ergibt:

a³ - 3a²·a + 2a³ = 3a³ - 3a³ = 0

Schon haben wir eine Nullstelle, nämlich x=a. Jetzt machst du eine Polynomdivision:

(x³- 3a²x+2a³) : (x-a)

Es sollte x² + ax - 2a² herauskommen.

Nun löst du noch die Gleichung x²+ax-2a²=0. pq-Formel, "Mitternachtsformel" oder quadratische Ergänzung, wie du willst.

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2(1+z)

2(1+z) = 2·1 + 2·2 = 2 + 2z

-(6-12z)

-(6-12z) = -6 + 12z

Ein Minus vor der Klammer kannst du dir immer als "mal -1" vorstellen:

-(6-12z) = (-1)(6-12z) = (-1)·6 - (-1)·12z = -6 -(-12z) = -6 + 12z

Übrigens: Was du da machst heißt nicht Ausklammern, sondern Klammern auflösen.

Ausklammern ist genau der umgekehrte Weg: 2+2z=2(1+z). in diesem Beispiel wird 2 ausgeklammert.


PS:

Wenn das so dasteht:

2(1+z)+3(7-z)-4(2z-1)-(6-12z) = 0

Dann sollst du die Gleichung nach z auflösen.

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Y=12x²-3 ... Um hier die Nullstellen heruaszufinden,muss man ja erstmal durch 12 teilen.

Als allererstes musst du den Funktionsterm gleich 0 setzen.

Dann kommt raus: Y=x²-0,25

Es muss heißen:

12x²-3 = 0

x² - 3/12 = 0

x² - 1/4 = 0

oder halt 0 = x² - 0,25. Ich enpfehle dir aber, Brüche zu verwenden statt Kommazahlen.

Dann muss man ja x ausklammern und da steht dann: Y=x(x-0,25)

Sorry, aber das ist jetzt ganz falsch. Es geht so weiter:

x² - 1/4 = 0

x² = 1/4 | jetzt die Wurzel ziehen

x = +- 1/2

Lösungsmenge: {-1/2; 1/2}


Alternativ mit der dritten binomischen Formel:

x² - 1/4 = 0

(x - 1/2)(x + 1/2) = 0

Und die nullstellen einfach ablesen. Das ist eigentlich sehr elegant, meistens macht man es aber mit der Wurzel.

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Es gibt keine letzte Zahl.

Beweis:

Wenn n eine Zahl ist, dann ist auch n+1 eine Zahl und es gilt n+1>n.

Angenommen, es gäbe eine "letzte Zahl". Nennen wir sie L. Dann muss aber auch L+1 eine Zahl sein, denn zu jeder Zahl darf 1 addiert werden. Aber es wäre dann auch L+1>L und entgegen der Annahme wäre L doch nicht die "letzte Zahl" ->Widerspruch!
Die Annahme für auf einen Widerspruch und muss daher falsch sein. Es gibt also keine "letzte Zahl".

Obiges Beweisverfahren nennt man indirekten Beweis.

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2/x³ = 0 |·x³

2=0 --> falsche Aussage, also hat die Gleichung keine Lösung.

Wenn du eine Gleichung richtig umformst und dann eine falsche Aussage herausbekommst, etwa "4=5" oder "42=27" oder eben dein "2=0", dann heißt das, dass die Gleichung keine Lösung hat. Die Lösungsmenge ist leer. L={}.

In Bezug auf deine ursprüngliche Aufgabe heißt das, dass deine Funktion keine Wendepunkte hat.

PS: Mit "unendlich" etc hat das alles nichts zu tun.

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wie die Dezimalzahl 0,111111111111111... ( bzw. 0,1 ) als Bruch darstellen kann ?

0,111111111111111... = 1/9

Ich schreibe das hier bei gf oft auch so: 0,[periode]1, oder noch kürzer: 0,p1.

Allgemeiner Lösungsweg:

Die Umrechnung für reinperiodische Dezimalzahlen geht so: Man nehme die Periode als ganze Zahl, schreibe die in den Zähler; in den Nenner schreibe man eine Zahl, bestehend aus sovielen Neunern, wie die Periode lang ist (dann noch kürzen, falls möglich). Beispiel:

0,060606060606060606.... also 0,p06, das ergibt als Bruch 6/99 = 2/33.

Entsprechend: 0,p3 = 3/9 = 1/3

oder

0,p37 = 37/99

etc


Etwas aufwendiger ist es mit gemischt-periodischen Dezimalzahlen (also solche, bei denen erst noch eine Vorperiode kommt). Beispiel:

0,2555555... (bzw 0,2p5)

Diese Zahl hat eine Vorperiode, die 2. Dafür gibt es eine Formel (http://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalsystem#Formel), aber die Formel muss man sich nicht merken, es geht auch so:

0,2p5 = | Komma verschieben und zum Ausgleich durch 10 teilen

2,p5 / 10 =

2/10 + 0,p5 / 10 = | Regel für reinperiodische anwenden

2/10 + (5/9)/10 =

2/10 + 5/90 =

18/90 + 5/90 =

23/90

Etwas umständlich vielleicht, aber nicht wirklich schwierig, wenn man Bruchrechnung kann.

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(y+5) mal (y+5) =10

(y+5)² = 10 | Wurzel

y+5 = +-Wurzel(10) | -5

y = -5 +- Wurzel(10)

Ausmultiplizieren und pq-Formel geht natürlich auch, ist in diesem Fall aber umständlicher.

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Nehmen wir mal die erste:

y-2x < -5 | +2x

y < 2x - 5

Das sieht einer linearen Funktion sehr ähnlich: Stünde dort statt dem "<" ein "=", dann wäre es eine lineare Funktion:

y = 2x - 5

Der Graph dieser Funktion wäre eine Gerade. Zeichne sie mal.
Nun steht da aber nicht y=2x-5 sondern y<2x-5. Das heißt dann aber, Lösungen sind alle die Punkte (x;y) die unterhalb der Geraden liegen, die du gezeichnet hast.
Genauso bei den anderen Aufgaben.

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x^2=a. dann die wurzel ziehen einmal x=a und x=-a .

x = Wurzel(a) oder x = -Wurzel(a)

oder als (Lösungs-)Menge geschrieben: L = {Wurzel(a), -Wurzel(a)}

bin ich mir nicht sicher weil die bedingung a>0 gegeben ist.

Das steht deswegen da, weil du ja aus a die Wurzel ziehen sollst. Was wäre denn, wenn a<0 wäre, zB a=-4? Es gibt aber keine reelle Zahl die quadriert gleich -4 wäre.

(a=0 würde gehen, denn Wurzel(0)=0)

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12tu^6 / 6tu^5 = 2t^0u

Das ist zwar richtig, aber da t^0=1 ist, hättest du weiter vereinfachen können:

12tu^6 / 6tu^5 = 2t^0u = 2u

Dein Ergebnis war zwar nicht falsch, aber noch nicht vollständig vereinfacht.

(9w^2y^6)^einhalb

"hocht einhalb" ist dasselbe wie "Wurzel", und die Wurzel von 9 ist 3, also ist 3wy^3 richtig

Oder so:

(9w^2y^6)^einhalb = (3^2w^2y^6)^einhalb = 3wy^3

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  • Naturwissenschaft handelt von der Natur (Naturobjekten, Natureigenschaften), das sagt ja schon der Name.
    Die Objekte der Mathematik sind aber keine Naturobjekte, sondern nur gedacht.
  • In der Naturwissenschaft entscheidet in letzter Instanz immer das Experiment (bzw, wie etwa in der Astronomie, die Beobachtung) darüber, ob eine Aussage wahr oder falsch sei.
    In der Mathematik gibt es keine Experimente. Und auch nichts zu beobachten (höchsten im übertragenen Sinne). In der Mathematik entscheidet immer der Beweis - und der wird rein logisch geführt: keine Experimente, keine Beobachtungen.

Ergo: Mathematik ist keine Naturrwissenschaft.

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Was passiert, wenn man bei 1/x < 0 mit x multipliziert?

Du übersiehst, dass wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert (oder durch eine negative Zahl dividiert), man dann das Ungleichheitszeichen umdrehen muss.

x kann hier (zunächst mal) sowohl negativ als auch positiv sein, nur x=0 ist ausgeschlossen, da der Nenner nie 0 werden darf. Wenn du hier mit x multiplizieren willst, musst du eine Fallunterscheidung machen:

  • Fall 1. x>0

1/x < 0 | ·x; hier bleibt das Ungleichheitszeichen so, wie es ist.

1 < 0 ---> falsche Aussage, keine Lösung für diesen Fall.

  • Fall 2. x<0

1/x < 0 | ·x; hier muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen!

1 ≥ 0

Wahre Aussage, die von x gar nicht mehr abhängt --> Alle x>0 sind Lösungen dieser ungleichung, bzw:
L={x€R | x<0}.


Einfacher ist es natürlich, wenn du dir überlegst, dass "löse 1/x<0" ja einfach nur bedeutet "wann ist 1/x negativ?" und dies natürlich nur der Fall ist, wenn x<0. Dann muss man gar nicht erst rechnen.

Obiges mit der Fallunterscheidung verstanden zu haben, ist aber trotzdem gut, denn es gibt Fälle, bei denen man das wirklich braucht.

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Aufgabe 1: ((((8+2)10)(1+3))+10) Ich komme mit den Klammern nicht klar

Mal sehr ausfürhlich:

((((8+2)·10)·(1+3))+10) = | überflüssige außen Klammern weg

(((8+2)·10)·(1+3))+10 = | innere Klammern ausrechnen

(((10)·10)·(4))+10 = | überflüssige Klammern weg

((10·10)·4)+10 = | in der Klammer ausrechnen

((100)·4) + 10 = | überflüssige Klammer weg

100·4 + 10 = | Punktrechnung vor Strichrechnung

400 + 10 =

410

((3+8+1)/2)(((8+2)10²) Zehntel)+((4 hoch 2)-(3 hoch 2)+3*1)

Jetzt nicht mehr ganz so ausführlich:

((3+8+1)/2)(((8+2)10²) / 10)+((4²)-(3²)+3*1) =

(12/2)((10·10²) / 10) + (16-9 + 3) =

6·(10²) + (7 + 3) =

6·100 + 10 =

600 + 10 =

610

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Von der Rakete aus gesehen bewegt sich die Erde mit einer Geschwindigkeit und die Rakete ist das Ruhesystem. Somit müsste sich doch der ganze Effekt aufheben??

Die Überlegung ist fast richtig, aber eben nur fast (die Überlegung, die du hier anstellst, ist übrigens namensgebend für die Bezeichnung "Zwillingsparadoxon"). Der Punkt ist, dass die Symmetrie, die du hier formulierst, nur für geradlinig-gleichförmige Bewegung gilt. Doch wenn es zwei Begegnungen gibt (am Anfang sind beide zusammen, denn entfernen sie sich voneinander , am Schluß sind wieder beide zusammen), dann war die Bewegung im ganzen ja keine geradlinig-gleichförmige Bewegung.

Worauf es hier insbesondere ankommt ist, dass einer von beiden das Inertialsystem wechselt (sogar mehrmals), und aufgrund der Voraussetzungen des Beispiels tut das auch tatsächlich nur einer von beiden, nämlich der im Raumschiff.

Wie der Effekt genau zustande kommt, steht in dem wikipedia-Artikel, auf den hier schon verlinkt wurde.

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Das Zwillingsparadoxon besagt ja dass, wenn ein zwilling sich mit lichtgeschw. bewegt

Die Relativitätstheorie besagt erstmal, dass ein Körper die Lichtgeschwindigkeit nicht erreichen kann. Du beginnst schon mit etwas, was von der Relativitätstheorie gerade ausgeschlossen wird.

Vielmehr beschleunigt einer mit einem Raumschiff so, dass sie sich relativ zueinander mit annähernd Lichtgeschwindigkeit bewegen. Umkehren und zurückfliegen muss das Raumschiff natürlich auch noch, sonst haben wir kein Zwillingsparadoxon.

und der andere still steht, der bewegte

Ruhe und Bewegung sind relativ, das besagt ja schon der Begriff Relativitätstheorie. Das unterschiedliche Alter der Zwillinge nach der Reise kommt vielmehr dadurch zustande, dass einer von beiden (der mit dem Raumschiff) das Inertialsystem wechselt (was man daran erkennt, dass er die Triebwerke zündet, den Andruck der Beschleunigung spürt etc), während der andere Zwilling keinen solchen Wechsel ausführt.

Daraus kann man nicht machen, der eine habe sich "in Wirklichkeit" bewegt, der andere "stehe still". Das würde völlig dem Relativitätspostulat widersprechen.

Wie der Altersunterschied zustande kommt, ist nicht so leicht zu verstehen. Frag nach einem Buchtitel, kannst für einen ersten Überlick auch den wiki-Artikel "Zwillingsparadoxon" lesen.

nur die geringe Zeit in der er etwas gealtert ist

Im Raumschiff (=im Bezugssystem des Reisenden) ist weniger Zeit vergangen. Der Reisende ist daher jünger als sein daheimgebliebener Bruder. Der Reisende ist nicht etwa "langsamer gealtert", wie das oft falsch ausgedrückt wird. Er ist ganz normal schnell gealtert, nur hatte halt der Alterungsprozess weniger Zeit.

Beispiel: Die Zwillinge sind zB 25 Jahre alt, wenn die Reise beginnt. Wir nehmen an, dass das Raumschiff nach 25 Jahren Erdzeit zurückkehrt, aber im Raumschiff nur 5Jahre vergangen sind. Der daheimgebleibene Zwilling ist natürlich 50 Jahre alt, denn in seinem Bezugssystem (Erde) sind 25 Jahre vergangen. Der reisende Zwilling ist nach der Rückkehr 30 Jahre alt, denn in seinem Bezugssystem (Raumschiff) sind nur 5 Jahre vergangen.

Er sieht nicht aus wie 30, sondern er ist 30. Und er ist nicht lansamer galtert, sondern der Alterungsprozess ist in den 5 Jahre ganz normal verlaufen. Er sieht aus wie 30, weil er wirklich 30 ist, und der Daheimgebliebene sieht aus wie 50, weil er wirklich 50 ist.

auch wahrgenomme

Das hat nichts mit der Wahrnehmung zu tun.

Ist es vllt. ein Hinweis darauf, dass die verschieden gealterten Zwillinge unmöglich am selben Ort sein können?

Nein, das ist ein Hinweis darauf, dass du dir ein gutes populärwissenschaftliches Buch zum Thema "Relativitätstheorie" besorgen solltest. Nach Titeln könntest du fragen (die, die ich kenne sind teils vergriffen, teils zu schwer. Aber andere User können dir sicher welche nennen.)

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(-2²)^5 das sollen wir mit dem Potenzgesetz anwenden: laut unserer Lehrerin wäre das +2^10

Wenn das genauso da steht: (-2²)^5, dann hat deine Lehrerin unrecht.
Oder stand da vielleicht ((-2)²)^5 ? Dann wäre +2^10 richtig

wenn ich das in den Taschenrechner eingebe kommt auch eine minuszahl raus..

Das stimmt ja auch (wenn wirklich (-2²)^5 gemeint war).

-2² = -4, denn Potenzieren hat Vorrang vorm Vorzeichen. Dagegen wäre natürlich (-2)²=4. jedenfalls:

(-2²)^5 = (-4)^5, und das wird negativ, denn wenn man eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenziert, ist das Ergebnis negativ. Mit den Potenzregeln kannst du es so machen (beachte dabei, dass ein negatives Vorzeichen dasselbe ist wie "mal -1"):

(-2²)^5 = | negatives Vorzeichen heißt "mal -1"

((-1)·2²)^5 = | Potenzgesetz für Produkte

(-1)^5 · (2²)^5 =

(-1) · 2^10 =

-2^10

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Anna ist 24 Jahre alt, das ist doppelt so alt wie Marie war, als Anna so als wie Marie jetzt ist.

Da fehlt wohl ein Satzteil. Es sollte sicher heißen:

"Anna ist 24 Jahre alt, das ist doppelt so alt wie Marie war, als Anna so alt war wie Marie jetzt ist."

Überleg mal so: man kann dem Satz entnehmen, dass Marie jünger ist als Anna. Nennen wir den Alteruntersschied zwischen beiden mal d ("d" wie Differenz). Dann ist Marie heute 24-d Jahre alt.

Vor wieviel Jahren war Anna so als wie Marie jetzt ist? natürlich vor d Jahren. Und wie alt war Marie damals? Nun, auch d Jahre jünger, also: 24-d-d=24-2d.

Nun ist das heutige Alter von Anna (=24) das doppelte des damaligen Alters von Marie(=24-2d). Wir haben also die Gleichung:

24 = 2(24-2d) | :2

12 = 24 - 2d | +2d; -12

2d = 12 | :2

d = 6

Der Alterunterschied ist 6 Jahre, also ist Marie heute 18.

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Das ist der richtige Ansatz.

Was muss ich also mit dem faktor (1/k) machen

Das ist keine Faktor, sondern nur ein Summand. Du könntest zB die p-Formel nehmen, dann wäre p=-2 und q=1+1/k. Oder die quadratische Ergänzung oder was du willst. Jedenfalls ist 1+1/k das absolute Glied der quadratischen Gleichung.

Die Nullstellen hängen dann halt von k ab.

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Welche zahl ist um 17 größer als -12?

-12 + 17 = 5

welche rationale zahl liegt in der mitte von -8 und +2?

(-8 + 2) / 2 = -6/2 = -2

Allgemein:

"Mitte von a und b" = (a+b) / 2

welche zahlen haben einen um 6,5 größeren betrag als -5?

"Betrag von -5" = |-5| = 5

5 + 6,5 = 11,5

Da auch |-11,5| = 11,5 ist, ist auch -11,5 eine Lösung. Die Lösungen sind -11,5 und 11,5.

"Betrag" macht aus einer negativen Zahl eine positive Zahl, sonst ändert "Betrag" nichts.

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f(x) = x³

Diese Funktion hat an der Stelle x=0 eine waagerechte Tangente (rechne es nach!), aber keinen Hoch- oder Tiefpunkt. Sie hat dort einen Sattelpunkt.

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Gegen- und Ankatheten zu bestimmen.

  • Die Gegenkathete ist die, die dem Winkel gegenüber liegt.
  • Die Ankathete ist die, die an dem Winkel anliegt - dieses setzt natürlich voraus, dass nur einer der beiden Schenkel des Winkels eine Kathete ist (sonst gäbe es ja zwei Ankatheten, was keinen Sinn hat). Der andere Schenkel ist die Hypotenuse.

ɣ=90° .... Doch welche ist jetzt die Gegen- und welche die Ankathete wenn man von ɣ ausgeht ?

Das hat gar keinen Sinn. Was liegt denn dem 90°-Winkel gegenüber? Die Hypotenuse, und eben keine Kathete. Da gibt es keine Gegenkathete. Und was sollte die Ankathete sein? Der 90°-Winkel wird doch von den beiden Katheten gebildet.

Die Begriffe "Ankathete" und "Gegenkathete" beziehen sich niemals auf den 90°-Winkel. Sie beziehen sich immer nur auf die beiden Winkel, die kleiner als 90° sind. Denn nur diesen liegt jeweils eine Kathete gegenüber, und nur diese werden aus einer Kathete und der Hypotenuse gebildet.

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weil eine Aufgabe hieß, man solle zwei Geraden zeichnen die sich zweimal schneiden. Deutsches Bildungssystem und so, haha...

Wie lautete die Aufgabe denn wörtlich?

Allerdings meinte dann (ich nehme mal ein ein Mathestudent?!) neben uns, wenn man im vier- oder gar mehrdimensionalen rechne, sei das durchaus möglich.

Das stimmt keineswegs. Zwei Geraden haben entweder genau einen Schnittpunkt, oder keinen (in der Ebene wären sie dann parallel, in mehr als zwei Dimensionen entweder auch parallel oder windschief), oder sie fallen zusammen.

BTW: in der euklidischen Geometrie der schneiden sich zwei Parallele nicht "im Unendlichen" sondern haben (per Definition) eben keinen Schnittpunkt. (Man kann formal "unendlich ferne Punkte" hinzunehmen, in denen sich Parallele dann schneiden - aber dann ist es auch keine euklidische Geometrie mehr, sondern eine Erweiterung derselben, oder überhaupt was anderes, je nachdem was man da genau macht).

ändert sich ja nichts daran, dass zwei Geraden sich nicht oder wenn nur an EINEM Punkt schneiden.

Ja. Vielleicht bestand die Aufgabe ja darin, zu folgern "wenn zwei Gerade zwei verschiedene Punkt gemeinsam haben, dann fallen sie zusammen".

Ich verstehe nich was die zusätzliche Dimension daran änder sollte,

Nichts. Das einzige, was hier dazu kommt, ist die Möglichkeit zweier Geraden windschief zu sein, also keinen Schnittpunkt zu haben, ohne jedoch parallel zu sein. Aber es bleibt bei den Möglichkeiten: keinen Schnittpunkt, oder genau einen, oder sie fallen zusammen.

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Periodische Dezimalzahlen taugen nicht zum praktischen Rechnen.

Was du da machen willst, ist nur in Sonderfällen praktikabel. Und selbst dann können noch Ergebnisse auftreten, mit denen die Leute immer Probleme haben, nämlich die berüchtigte "Periode 9".

Natürlich kannst du das hier machen:

4 * 0,020202020202020202.... = 0,0808080808080808....

oder

2 * 0,3333333333333... = 0,666666666666.....

Aber wie willst du das hier rechnen:

11 * 0,1818181818181818........

?

Oder,

3 * 0,33333333333333.... = 0,999999999999999....

Da müsstest du verstehen, dass 0,999999999...=1 ist.

Also: Rechne nicht mit periodischen Dezimalzahlen. Mache es so:

  • Wandele die periodische Dezimalzahl in einen Bruch um (wie das geht, solltet ihr gelernt haben).
  • Verwende dann Bruchrechnung.
  • Falls verlangt, kannst du dann das Ergebnis wieder in eine Dezimalzahl verwandeln.

Das funktioniert immer, und es treten keine "seltsamen" Ergebnisse auf.

11 * 0,1818181818181818 = 11 * 18/99 = 11 * 2/11 = 2

3 * 0,33333333333333... = 3 * 3/9 = 3 * 1/3 = 1

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Hat jemand von euch dieses Werk schon einmal gelesen?

Ja, ich habs vor einiger Zeit gelesen.

Die mW beste Ausgabe ist die vom Meiner-Verlag.

Stellt es sprachlich und inhaltlich sehr hohe Anforderungen an den Leser?

Ja. Ich hab ca ein Jahr dafür gebraucht (hängt natürlich auch davon ab, wieviel Freizeit man hat), und ohne Begleitliteratur schafft man das nicht (außer, man wäre philosophisch ganz außerordentlich begabt).

Ich kann dir die wichtigsten Bücher nennen, die ich damals gelesen habe:

Zum Einstieg (also vorher) kann man das hier lesen: Ralf Ludwig, Kant für Anfänger. Die Kritik der reinen Vernunft.

Ebenfalls als Einstieg geeignet ist: Otfried Höffe, Immanuel Kant. Umfangreicher und auch etwas schwieriger als das Buch von R.Ludwig. Hier wird auch Kants Biographie kurz dargestellt, und es geht auch um andere Schriften von ihm. Die Kritik der reinen Vernunft nimmt aber den größten Raum ein.

Das folgende Buch liest man am Besten parallel zur "KdrV": Otfried Höffe, Kants Kritik der reinen Vernunft. Die Grundlegung der modernen Philosophie.

In den beiden Büchern von Otfried Höffe werden auch Einwände gegen Kant diskutiert, und das Verhältnis seiner Philosophie zur modernen Physik und zur modernen Mathematik dargestellt, was in dem Buch von R.Ludwig gar nicht vorkommt.


Ein Beispiel für die "Anwendung" von Kant im Hinblick auf aktuelle Diskussionen ist dieses Buch: Christine Zunke, Kritik der Hirnforschung. Neurophysiologie und Willensfreiheit. Worum es geht, sagt schon der Titel. Nicht ganz leicht zu lesen, da es die Doktorarbeit der Autorin ist.

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wie rechnet man 2^4 * 8^-2 ?

2^4 * 8^-2 = 2^4 / 8^2 = 2^4 / (2^3)^2 = 2^4 / 2^6 = 1 / 2^2 = 1/4

Oder auch 2^-2, wie du willst.

aber nicht wenn beides verschieden ist.

Dafür gibt es keine Regel, normalerweise geht es einfach nicht. Es geht nur, wenn man mit einem Trick wie oben beides doch auf die gleiche Basis bringen kann (oder auf den gleichen Exponenten).

wie rechnet man potenzen mit gleicher Basis UND gleichem exponenten aus?

Wenn beides gleich ist, kannst du auch beide Regeln verwenden; kannst dir aussuchen, welche.

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Das sind keine zwei Funktionenscharen, sondern nur eine.

f k (t)=0,5t³-1,5kt²+6kt-6+50

Das lässt sich noch vereinfachen:

f k (t)=0,5t³-1,5kt²+6kt-6+50 =0,5t³-1,5kt²+6kt-44

Wir nehmen für k zwei beliebige, aber verschiedene Werte k_1 und k_2 und rechnen wie gewohnt:

0,5t³ - 1,5k_1·t² + 6k_1·t - 44 = 0,5t³ - 1,5k_2·t² + 6k_2·t - 44

-1,5k_1·t² + 6k_1·t = -1,5k_2·t² + 6k_2·t

0 = 1,5(k_1 - k_2)t² + 6(-k_1 + k_2)t

0 = t(1,5(k_1 - k_2)t + 6(-k_1 + k_2))

t=0

1,5(k_1 - k_2)t + 6(-k_1 + k_2) = 0

1,5(k_1 - k_2)t = -6(-k_1 + k_2) = 6(k_1 - k_2)

t = 6(k_1 - k_2) / (1,5(k_1 - k_2)) = 6/1,5 = 4

t = 4

Wir haben zwei Ergebnisse, die auch nicht vom gewählten k abhängen.

Da du die Koordinaten bestimmen sollst, musst du die Werte noch in die Funktionsgleichung einsetzen und die jeweilige y-Koordinate ausrechnen (auch dabei muss das k wegfallen, das ist also zugleich eine Art Probe).

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Du hast hier eine Gleichung, und zwar einen Bruchterm, der gleich 0 sein soll.

Betrachte mal das hier:

a/b = 0 | mal b und gleich kürzen

a = 0

Du musst nur den Zähler gleich 0 setzen. Ein Bruch bzw ein Bruchterm ist gleich 0 genau dann, wenn der Zähler gleich 0 ist (wobei der Nenner natürlich nie 0 sein darf; aber dein Nenner wird ja auch nicht 0)

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Noch ein Rechenweg:

3•5^x = 4^(2x) | Verwende: 4^(2x) = (4^2)^x = 16^x

3•5^x = 16^x | :5^x

3 = 16^x / 5^x | Potenzgesetz für gleiche Exponenten

3 = (16/5)^x | log

log(3) = x·log(16/5)

x = log(3) / log(16/5)

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Ich tue mich schwer mit dem Begriff "Term"

Gemeint ist der Funktionsterm.

Wenn ich sowas hinschreibe:

f(x) = x² - 27 x + 3

dann ist f der Name der Funktion, das x ist die Funktionsvariable (das erkennt man daran, dass das x in Klammern direkt nach dem f steht), und x²-27x+3 ist der Funktionsterm. Den sollst du bestimmen.

Enstsprechend, wenn man hätte:

g(t) = 3t + 5

dann ist g der name der Funktion, t ist die Funktionsvariable und 3t+5 ist der Funktionsterm.

Welche Spielräume gibt es?

Hier solltest du daran denken, dass Konstante bei der Ableitung wegfallen, und dass aus einem linearen Glied eine Konstante wird, wenn man ableitet. Was bedeutet das, wenn du zweimal ableitest (bzw, wenn du die ursprüngliche Funktion aus der zweiten Ableitung bestimmen sollst)? Schau dir das mal an ein paar Beispielen an.

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Betrachtet man nicht nur endliche Mengen, sondern auch unendliche, dann spricht man nicht mehr von "gleich vielen Elementen" oder dass sie "gleich groß" wären, sondern von "gleichmächtig". Bzw die "Mächtigkeit einer Menge" entspricht bei endlichen Mengen der Anzahl ihrer Elemente. Unendliches kann man nicht zählen, darum muss man hier erst definieren, was mit "gleichmächtig" gemeint ist.

Man definiert: Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn man mindestens eine Zuordnung zwischen den Elementen von A und B finden kann, sodass weder bei A noch bei B irgendein Element übrigbleibt.
Kürzer: Es muss eine bijektive Abbildung zwischen A und B möglich sein.

Bei deinem Beispiel könnte man es so machen:

1 <-> 0
2 <-> 1
3 <-> -1
4 <-> 2
5 <-> -2
6 <-> 3
7 <-> -3
8 <-> 4

etc

Es gibt zwischen {1, 2, 3, 4, 5, ... } und {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... } eine Zuordnung, sodass beiderseits kein Element übrigbleibt. Per Definition sind diese Mengen also gleichmächtig. Umgangssprachlich mag man meinetwegen auch sagen "die Mengen sind gleich groß".

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Wenn ihr nur Winkel habt, dann ist das Dreieck nur der Form nach festgelegt, micht baer der Göße nach. man könnte es beliebig vergrößern oder verkleinern (also alle Seitenlängen mit dem gleichen Faktor multiplizieren). Ihr sollt nur je ein solches Dreieck zeichne. Wenn die Winkel stimmen, ist die Lösung richtig, egal ob ihr es größer oder kleiner gezeichnet habt.

Zu Glück hast du noch in einem Kommentar die Originalaufgaben hingeschrieben. Es sind tatsächlich 3 Dreiecke, die ihr zeichnen sollt.

Und: Es ist mehr eine Verständnid-Aufgaben, weniger eine Rechenaufgabe. Fangen wir mit der letzten an, die ist am einfachsten:

tan α = 4/5

Der tangens ist definiert als: Tangens = Gegenkathete / Ankathete.
Wir haben: tan α = 4/5. Da die Größen egal sind, wählen wir einfach:

Gegenkathete = 4cm
Ankathete = 5cm

Die beiden Katheten bilden ja immer den rechten Winkel. Zeichne also die Strecken von 4cm und 5 cm hin, sodass sie senkrecht aufeinander stehen. Die Endpunkte verbinden - fertig. Hier gibt es nichts zu rechnen!

Kannst die an dieser Zeichnung orientieren: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:RechtwinkligesDreieck.svg

cos α = 4/5

Der Kosinus ist definiert als: Kosinus = Ankathete / Hypotenuse.

Wir haben: cos α = 4/5. Da die Größen egal sind, wählen wir einfach:

Ankathete = 4cm
Hypotenuse = 5cm

Du könntest eine Konstruktion mit dem Thaleskreis machen, dann müsstest du gar nichts rechnen, oder du berechnest die fehlende Seite mit dem Pythagoras (das ist hier schön, weil es aufgeht:

a² + 4² = 5²

a² + 16 = 25

a² = 6

a = 3

Jetzt kannst du das rechtwinklige Dreieck bequem zeichnen.

sin α = 2/3

Wie gehabt. Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse, wir wählen:

Gegenkathete = 2cm
Hypotenuse = 3cm

Falls dir das zum zeichnen unbequem ist, weil die Strecken doch etwas kurz sind, könntest du genausogut zB Gegenkathete = 4cm und Hypotenuse = 6cm nehmen. Einfach beides mal 2, passt auch. Oder mal 3, oder wie du willst.

Auch hier kann man ein Konstruktion mit dem Thaleskreis machen. Die fände ich hier schöner, weil es mit dem Pythagoras in diesem Fall nicht auf geht -richtig wäre aber auch das.

2² + b² = 3² Gibt hier keine glatte Zahl für b. Aber mache es, wie du willst.


Wichtig ist immer, dass man auch weiß, was die Formeln und Begriffe bedeuten. Zu wissen, dass Sinus=Gegenkathete/Hypotenuse ist, das ist viel wichtiger als sin(α)=a/c. Merke dir sowas in Worten, nicht als Formel mit Buchstaben!

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Schauen wir erstmal, was nicht dein Problem ist.

Dass 10/3 = 3,p3 bzw 1/3=0,p3 ist, das ist laut deinem Kommentar klar. Mit anderen Perioden zB 5/14=5p571428 hast du dann wahrscheinlich auch kein Problem.

Dass dein Taschenrechner ab einer bestimmten Anzahl von Stellen rundet, ist sicher auch nicht geheimnisvoll.

Dein Problem ist wohl immer noch 9,p=10 bzw 0,p9=1. Dass diese Gleicheit gelten muss, sollte aber schon klar sein, denn Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl ungleich 0 ist eine Äquivalenzumformung. Das habt ihr beim Thema "Gleichungen" gelernt, und das wirst du sicher oft verwenden.

Wenn du also die Gleichung 1/3=0,p3 akzeptierst, so musst du natürlich auch 1=0,p9 akzeptieren, denn hier wurde eine Gleichung mit 3 multipliziert, also eine Äquivalenzumformung durchgeführt. Und wenn du 1=0,p9 durch 3 dividierst, kommst du ja auch wieder auf 1/3=0,p3.

Trotzdem fehlt dir da noch was, und zwar zu recht! Natürlich kann dein Problem mit 0,p9=1 auch damit zu tun haben, dass dir das ungewohnt ist. Denn immerhin ist ja sonst immer eine Zahl, die mit "Null Komma..." anfängt, unbedingt kleiner als 1.

Also, ich denke, dein Problem liegt in Wirklichkeit darin, dass dir (auch wenn dir das wohl nicht bewusst ist) schon die Gleichung 1/3=0,p3 nicht wirklich klar ist. Oder genauer gesagt, dass du nicht wirklich weisst, was sowas wie "0,p3" als Dezimalzahl eigentlich heißen soll.

Das soll jetzt kein Vorwurf sein (du hättest nicht genug gelernt oder was immer), sondern man lernt das in der Schule tatsächlich nicht. Man macht das Thema "Kommazahlen und Brüche" nämlich in der sechsten Klasse. Und da kann man nicht vermeiden, dass auch 1/3, 5/7 etc auftritt, was aber zu unendlichen Kommazahlen führt. Aber was eine unendliche Kommazahl bedeuten kann, ist für Sechstklässler viel zu schwer. Die würden wahrscheinlich schon das Problem nicht verstehen, geschweige denn die Lösung. Also begnügt man sich da mit einer "Pseudo-Definition" a la "wenn da nur noch 3er kommen, macht man einen Strich drüber", und dann kommen noch ein paar Rechenregeln (sowas wie 0,p27=27/99=3/11).

Leider wird das Thema "unendliche Dezimalzahlen" in den späteren Klassen auch nicht mehr aufgegriffen, und so kommt es zum dem unglückliche Ergebnis, dass jedem in der Schule periodische (und auch nicht-periodische) Dezimalzahlen beigebracht werden, man dabei aber nicht lernt, was sie eigentlich bedeuten.

Das ist aber auch wirklich nicht so einfach.

Nun gut, vielleicht glaubst du mir im Moment noch nicht, dass ihr das nicht gelernt habt, immerhin kannst du Brüche in periodische Dezimalzahlen umrechnen, und umgekehrt. Oder vielleicht sagst du auch, du wüsstest ja, was Nachkommastellen bedeuten, und darum bräuchtest du keine Definition mehr

Aber die genannten Rechenvefahren sind keine Definition für eine Dezimalzahl. Und warum dir wirklich noch einen Definition fehlt (das meinte ich mit dem "zu recht" oben), versuche ich dir mal zu erklären.

Wir rechnen im Dezimalsystem, da ist die Basis die Zehn. Auch andere Stellenwertsysteme mit anderen Basen wären möglich und spielen in der Informatik eine gewisse Rolle. Aber bleiben wir beim Dezimalsystem.

Im Dezimalsystem müssen alle Zahlen als Summe von Vielfachen von Zehnerpotenzen ausgedrückt werden. Schon in der Grundschule lernt man sowas wie:

"245 = 2 Hunderter + 4 Zehner + 5 Einer"

Wenn man in Mathe etwas weiter ist, schreibt man es so:

"245 = 2·100 + 4·10 + 5 = 2·10^2 + 4·10^1 5·10^0"

Man könnte das "hoch 1" im mittleren Term weglassen, und das "mal 10^0" am Ende auch, denn 10^0 ist 1. Aber beides hinzuschreiben ist trotzdem gut, denn man sieht daran, dass tatsächlich nur Vielfache von Zehnerpotenzen addiert werden.

Dann kommen die Kommazahlen. Ihr habt gelernt:

0,25 = 2/10 + 5/100 = 25/100

Man könnte es auch so schreiben: 0,25 = 2·10^-1 + 5·10^-2.
Wieder haben wir Vielfache von Zehnerpotenzen. Erst wenn die Kommazahlen so definiert sind, sind sie wirklch als Dezimalzahlen definiert. Denn: Dezimalzahlen sind immer definiert als Summe von Vielfachen von Zehnerpotenzen, wobei die Potenzen immer mit den entsprechenden Ziffern multipliziert werden.

Wahrscheinlich rechnest du in solche Fällen lieber etwas einfacher, nämlich so:
0,25=25/100.
Ist auch ok, man muss den Zwischenschritt da nicht hinschreiben. Aber zumindest wissen sollte man, dass 0,25 zunächstmal "2/10+5/100" bzw "2·10^-1+5·10^-2" bedeutet.

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(x^2-x-2)e^-x=(x^2-x-2)e^-0,2x.

Die "-0,2x" stehen zusammen im Exponent, nicht nur die "0,2", oder? Sonst gehts nicht.

(x^2-x-2)e^-x = (x^2-x-2)e^(-0,2x) | - (x^2-x-2)e^(-0,2x)

(x^2-x-2)e^-x - (x^2-x-2)e^(-0,2x) = 0 | ausklammern

(x^2-x-2)(e^-x - e^(-0,2x)) = 0

  • Ersten Faktor 0 setzen: x^2-x-2=0. Eine Quadratische Gleichung, das kannst du selbst. (Lösungen: -1 und 2).
  • Zweiten Faktor 0 setzen: e^-x - e^(-0,2x)=0. Hier könntest du entweder u=-0,2x substituieren, oder so wie in den anderen Antworten rechnen, wie du willst.

Was du nicht tun sollst: durch x^2-x-2 dividieren, sonst verlierst du die Lösungen -1 und 2. Klammere aus und verwende den "Satz von Nullprodukt" (also, die Faktoren einzeln 0 setzen, wie oben gezeigt).

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y = 2x² + 12x - 4 | aus dem vorderen Teil die 2 ausklammern

y = 2(x² + 6x) - 4 | quadratische Ergänzung

y = 2(x² + 6x + 9 - 9) - 4 | erste binomische Formel

y = 2((x+3)² -9) - 4 | äüßere Klammer auflösen

y = 2(x+3)² - 18 - 4 | Zusammenfassen

y = 2(x+3)² - 22

Scheitelpunkt: (-3; -22)

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Wie schon viele User hier richtig schrieben, heißt das Fakultät.


Da hier jemand behauptete "natürlich ohne 0!" möchete ich noch begründen, warum die Definition 0!=1 sinnvoll ist, auch wenn "0!" zunächst völlig sinnlos aussieht.

Man sagt dann oft, dass 0! in vielen Formeln auftaucht und daher zweckmäßigerweise als 1 definiert wird. Das ist auch richtig und das reicht auch als Grund. Aber es gibt noch einen anderen Weg, der zu 0!=1 führt. Ich machs ein bisschen ausführlicher.

Betrachten wir zunächst mal was anderes:

Wie könnten wir eine Summe mit beliebig vielen Summanden ausdrücken und dabei nur ein Operationssymbol verwenden? Mit "+" geht das nicht, denn wenn mehr als zwei Zahlen summiert werden sollen, müssen wir "+" mehrfach hinschreiben, zB 4+7+1+12. Vier Summanden, aber wir mussten das "+" dreimal hinschreiben.

Um es mit nur einem Symbol zu schreiben, müssen wir ein neues Symbol definieren. Nennen wir es einfach "SUM":

SUM(a_1, a_2, ..., a_n) = a_1 + a_2 + ... + a_n

dann wäre:

SUM(2,3) = 2+3 = 5

SUM(4, 7, 1, 12) = 24

etc

Aber was wäre SUM(4)? Das wäre bloß ein Summand. Hier passt unsere Definition nicht mehr wirklich, denn wir hatten da das "+" verwendet, und das braucht links einen Summanden und recht auch einen, also zwei. Unser SUM(4) ist noch undefiniert!

Und was ist mit SUM()? "()" wäre eine leere Liste, und SUM() wäre eine Summe ganz ohne Summanden. Das erscheint erstmal sinnlos, aber man sollte bedenken, dass es ja auch im Alltag vorkommen kann, dass eine Liste auch mal leer bleibt.

Können wir SUM(a), also zB SUM(4), oder gar SUM() dennoch vernünfitg definieren?

Überlegen wir mal folgendes:

SUM(4, 7, 1, 12) = 4 + 7 + 1 + 12 = SUM(4, 7, 1) + 12

Daraus kann ich machen:

SUM(4, 7, 1) = SUM(4, 7, 1, 12) - 12

Schon an diesem einen Beispiel erkennt man eine Rechenregel für unser "SUM": Wenn ich ein Element aus der Liste herausnehme und dann SUM anwende, so ist das dasselbe wie das ursprüngliche SUM vermindert um dieses Element.

Entsprechend wäre

SUM(4, 7) = SUM(4, 7, 1) - 1 = 4 + 7 + 1 - 1 = 4 + 7 = 11

und also

SUM(4) = SUM(4, 7) - 7 = 4 + 7 - 7 = 4

oder allgemein:

SUM(a) = SUM(a, b) - b = a + b - b = a

Also: SUM(a) = a

Und weil es so schön geht:

SUM() = SUM(a) - a = a - a = 0

Also: SUM() = 0

Eine Summe ganz ohne Summanden, und wir konnten einen sinnvollen Wert dafür finden. Er ist 0. Man nennt das auch eine leere Summe.

Das geht fürs Multiplizieren entsprechend auch:

MAL(a_1, a_2, ..., a_n) = a_1 * a_2 * ... * a_n

MAL(2; 3) = 3*3 = 6

MAL(5; 3; 10) = 5 * 3 * 10 = 150

Und ähnlich wie oben:

MAL(5; 3) = MAL(5; 3; 10) / 10

Wenn ich ein Element aus der Liste herausnehme und dann MAL anwende, so ist das dasselbe wie das ursprüngliche MAL dividiert durch dieses Element.

Aber vorsicht: da man durch 0 nicht teilen darf, kann ich dieses Gesetz nur verwenden, wenn der Faktor 0 nicht vorkommt. Aber das ist keine große Einschränkung, denn in einem solchen Fall wäre ja das ganze Produkt sowieso immer 0, und das muss uns hier nicht weiter interessieren.

Merken wir uns, dass der Faktor 0 ausgeschlossen ist, so können wir analog zu SUM so schließen:

MAL(a) = MAL(a, b) / b = a*b / b = a

Also MAL(a) = a.

Und: MAL() = MAL(a) / a = a / a = 1.

MAL() = 1

Ein Produkt ganz ohne Faktoren, und wir haben gesehen, dass wir das sinnvollerweise gleich 1 setzen sollten. Man nennt das ein leeres Produkt.

Wir könnten zB damit auch das hier machen:

a^3 = MAL(a, a, a) = a * a * a

a^2 = MAL(a, a) = a * a

a^1 = MAL(a) = a

a^0 = MAL() = 1

Mit der Operation "MAL" finden wir a^1=a und a^0 =1, ganz wie wir es von den Potenzgesetzen her kennen.

Und die "Fakultät" können wir mit "MAL" auch ausdrücken:

n! = MAL(1, 2, ..., n) = 1*2*...*n

zB 3! = MAL(1, 2, 3) = 1*2*3 = 6

Und mit unseren Erkenntnissen von oben, dass MAL(a)=a und MAL()=1 ist, finden wir:

1! = MAL(1) = 1
0! = MAL() = 1

Passt alles.

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Leider habe ich keine Ahnung, wie man das macht.

Du kennst das Verfahren schon: die quadratische Ergänzung.

x² +px + q = 0 -q

x² +px = -q | quadratische Ergänzung, also +(p/2)²

x² +px + (p/2)² = (p/2)² - q | erste binomische Formel

(x + p/2)² = (p/2)² - q | Wurzel

x + p/2 = +-Wurzel((p/2)² - q) | -p/2

x = -p/2 +-Wurzel((p/2)² - q)

(Oft schreibt man auch "x1,2 = -p/2 +-Wurzel((p/2)² - q)" )

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(x - 2)² - 6 < (x + 2)(x - 2) - 4 | binomische Formeln

x² - 4x + 4 - 6 < x² - 4 - 4 | zusammenfassen

x² - 4x - 2 < x² - 8 | -x²

-4x - 2 < -8 | +2

-4x < -6 | durch -4. Ungleichheitszeichen dabei umdrehen!

x > -6 / (-4) | kürzen

x > 3/2

Fertig. Die andere selber machen, auch bei der wird das x² komplett rausfallen.

Worauf man bei Ungleichungen achten muss: Bei Multiplikation mit bzw Division durch eine negative Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen. Es dreht sich auch dann um, wenn man auf beiden Seiten den Kehrwert nimmt. Sonst sind alle Umfomungen wie bei Gleichungen.

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ab diesem Punkt komme ich nicht mehr weiter. Muss ich dann irgendwie die Werte der Intervalleingrenzung einsetzen?

Du musst halt schauen, für welche k der Wert π/4+kπ im Intervall liegt.

Das Intervall war [0;2π]. Damit kommen schonmal keine negativen Werte in Frage, dh bei deinem x=π/4+kπ kommen für k nur nichtnegative ganze Zahlen in Frage (denn schon für k=-1 hätten wir ja ein negatives x).

Für k=0 bekommen wir π/4, für k=1 bekommen wir π/4+π = 5/4π, das passt beides. Für k=2 sind wir aber schon außerhalb des Intervalls. Fertig.

Ja, man kann das auch formal machen. Dazu würde man so umformen: π/4+kπ = π/4+4kπ/4 = 5k/4π. Da dieser Wert innerhalb von [0;2π] liegen muss, sind diejenigen Werte von k gesucht, für die 0≤5k/4≤2 gilt. Aber ich finde, dieser Teil der Aufgabe ist so einfach, dass man das nicht formal machen muss.

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' wurzel c² ' (das wurzelzeichen war über dem c und dem ²)

Das kannst du hier bei gf so schreiben: Wurzel(c²). Wenn es anders gemeint wäre, dann so: (Wurzel(c))²

Aber du meinstest das: Wurzel(c²)

Ist dir klar, dass bei deinem Term auch die negativen Zahlen zur Definitionsmenge gehören?

Dass die negativen Zahlen aber nicht dazugehören würden, wenn das hier beiment wäre: (Wurzel(c))²

meine frage nun ist, ob man zuerst die wurzelzieht oder zuerst mal wurzel c rechnet?

Erst überlegen:
Also, für c sind auch negative Zahlen erlaubt. Aber das Quadrat einer Zahl ist immer &ge&0, also c²&ge&0. Nun ist das Ergebnis einer Wurzel per Definition immer nicht-negativ. Es wäre also falsch zu schreiben:

Wurzel(c²) = c

Da wäre nur richtig, wenn wir den Definitionsbereich auf Zahlen ≥0 eingeschränkt hätten. Haben wir aber nicht. Es muss daher heißen:

Wurzel(c²) = |c|

Um das c müssen Betragsstirche stehen. Mach dir das mal an kokreten zahlenbeispielen klar.

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Er ist eben deswegen um nur um 7 Jahre galtert, weil für ihn (in seinem Raumschiff bzw in seinem Bezugssystem) nur 7 Jahre vergangen sind.
Das beantwortet auch schon deine Frage. Die 7 Jahre kommen ihm wie 7 Jahre vor, und zwar deswegen, weil es in seinem Bezugssystem tatsächlich 7 Jahre waren.

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Ich denke zuerst an Zeichnen aber dies wäre viel zu ungenau.

Ja. Aber mach dir trotzdem eine Zeichnung. Sie muss nicht so ganz präzise sein, aber du brauchst sie, um dich daran zu orientieren.

Kreisdurchmesser: 100cm,

Also ist der Radius r=50 (ich lasse die "cm" mal weg).

bestimme Breite 28cm.

Dann nennen wir diese Seite doch mal b. Also, b=28. Die gesuchte Seite wäre dann a, die wollen wir berechnen.

Mache dir jetzt deine Zeichnung. Zeichne es mal so, dass die Breite b waagerecht ist. Zeichne vom Mittelpunkt des Kreises eine Linie nach oben, die senkrecht auf die Rechteckseite b trifft. Wie lang ist diese Linie? Weil alles so schön symmetrisch ist, muss sie die Länge a/2 haben. Und sie trifft genau die Mitte der Seite b, wo dann eben der rechte Winkel ist. Zeichne jetzt noch einen Radius ein, der auf die linke obere Rechteckseite trifft.

Jetzt hast du ein rechtwinkliges Dreieck Die Hypotenuse ist r, die beiden Katheten sind a/2 und b/2

Pythagoras:

r² = (a/2)² + (b/2)² | einsetzen

50² = (a/2)² + 14²

Ausrechnen und nach a auflösen.

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a²+b²=c², c²=13²=169. a² = x² und b²= (x+7)².

Der Ansatz ist richtig.

2x²+7x+49=169

Hier ist der Fehler.

a²+b²=c²

x² + (x+7)² = 169

x² + x² + 14x + 49 = 169

2x² + 14x + 49 = 169

Bei dir stand eine 7 statt der 14. Nun noch auf die Normalform bringen:

2x² + 14x + 49 = 169 | -169

2x² + 14x - 120 = 0 | :2

x² + 7x - 60 = 0

Jetzt kannst du die pq-Formel verwenden. Aufgrund der Aufgabenstellung kommt von den beiden Lösungen nur die positive in Betracht.

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Wurzel (soll das Zeichen darstellen) x-6 = D = {xIx "größer als" 6}

Fast richtig. Es muss heißen D = {xIx "größer oder gleich" 6}, bzw D = {xIx ≥ 6}.

Denn Wurzel(0) geht ja auch, Wurzel(0)=0. Der Fall x=6 ist also auch möglich.

Wurzel1-x=D={xIx kleiner als 1}

Wie oben: Fast richtig. Es muss heißen D ={xIx "kleiner oder gleich" 1} bzw D={x|x≤1}.

wie komme ich auf die Lösung ??

Was unter der Wurzel steht, darf nicht negativ sein.

zB: x - 6 ≥ 0, also x≥6

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(2b+ 2a) ³ = 8a³ +24a²b +24b² +8b³

Es gibt auch für "hoch 3" eine Formel, wie die binomischen Formel für "hoch 2". Die könnte man verwenden.

Meistens lernt man die aber nicht, lso könnte man es so machen:

(2b+ 2a)³ = (2b+ 2a)·(2b+ 2a)²

Den rechten Faktor mit der ersten binomischen Formel berechnen, dann mit (2b+ 2a) multiplizieren.

Wenn man geschickt ist, kann man auch er ausklammern:

(2b+ 2a)³ = (2(b+a))³ = 2³(b+a)³ = 8(b+a)³

(b+a)³ dann wie oben ausrechnen.

aHoch5+bHoch5 / x + aHoch5+bHoch5 / y =

Ist doch wohl so gemeint:

(a^5+b^5) / x + (a^5+b^5) / y

Da man bei gf keine echten Bruchstriche hat, sollte man zusätzliche Klammern verwenden, damit klar ist, wie es gemeint ist.

Jedenfalls, du kannst hier a^5+b^5 ausklammern:

(a^5+b^5) / x + (a^5+b^5) / y =

(a^5+b^5)(1/x + 1/y)

Man könnte noch in der zweiten Klammer alles auf einen Nenner bringen:

(a^5+b^5)(1/x + 1/y) = (a^5+b^5)((y+x)/(xy))

(Falls verlangt. Einfacher ist letzteres ja eher nicht.)

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So,... jetzt muss ich doch ausklammern?

Du kannst nicht ausklammern, weil im zweiten Summanden kein x steht.

x(12x-2a)=0

Es ist aber x(12x-2a) = 12x²-2ax. Deine 2.Ableitung ist aber 12x²-2a.

"Ein Produkt ist gleich null wenn einer der Faktoren null ist

Nützliche Regel, die man kennen sollte. Sie ist hier aber nicht anwendbar, weil du kein x ausklammern kannst.

Statt dessen:

12x² - 2a = 0 | +2a

12x² = 2a | :12

x² = 2a/12 = a/6 | wurzel

x = +- Wurzel(a/6)

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Schreib dir doch einfach als Term hin, was in der Aussage steht und berechne diesen.

Die Differenz der Quadrate von zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist gleich

Ich kann die kleiner natürlich Zahl Zahl n nennen, dann ist darauffolgende eben n+1. Deren Quadrate sind n² und (n+1)². Wir solllen die Differenz der beiden Quadrate nehmen, also

(n+1)² - n²

ist gleich der Summe dieser Zahlen

Die Summe der beiden Zahelne (n und n+1) ist

n + n+1 = 2n+1

Es wird behauptet, dass dies gleich der obigen Differenz, also gleich (n+1)²-n² sei. Dann lösen wir doch einfach die Klammer auf und schauen, was herauskommt:

(n + 1)² - n² = n² +2n + 1 -1 = 2n +1 = n + n+1

Heraus kommt die die Summe von n und n+1. Fertig, die Aussage ist bewiesen.

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Bei der 1) musst du irgendwas vergessen haben, vielleicht nut eine Kleinigkeit. Aber so, wie es da steht, kann man da nichts rechnen.

Bei der 2):

verlängert man die kurze Seite eines Rechtecks um 7cm und verkürzt die längere Seite um 5cm, so wächst der Flächeninhalt um 31^2

Gemeint war sicher 31cm^2. Kurze Seite: a; lange Seite: b.

(a+7)(b-5) = ab + 31

verlängert man nun die kurze Seite um 5cm und verkürzt die längere um 7cm, so verringert sich der Flächeninhalt um 29cm^2

Gleichungssystem:

(a+7)(b-5) = ab + 31
(a+5)(b-7) = ab - 29

Was hier erstmal stört, ist das ab.

Multipliziere bei beiden Gleichungen links die Klammern aus. Du kannst dann jeweils auf beiden Seiten ab abziehen. Es bleibt dann ein gewöhnliches, lineares Gleichungssystem übrig, das du leicht nach a und b auflösen kannst.

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck. Ein Schenkel ist dreimal so lang wie die Basis. Der Umfang beträgt 17,5 cm. Wie lang sind die Seiten?

s: Länge der Schenkel, b: Länge der Basis.

U = 2s+b, also 17,5=2s+b. Außerdem: s=3b. Das einsetzen:

17,5=2*3b+b = 6b+b = 7b

17,5 = 7b

b = 17,5 / 7 = ...

(Quadratische Funktionen kommen da abe nicht vor.)

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Nenne wir die gesuchte Zahl n.

Sie soll bei Division durch 7 und 5 jeweils den gleichen Rest liefern, nämlich 3.

Der Vorgänger, also n-1, soll durch 8 teilbar sein

Der Nachfolger, also n+1, soll durch 3 teilbar sein


Schaun wir mal...

Wenn n bei Division durch 5 und 7 beide mal den Rest 3 ergibt, dann heißt das:

  • n-3 ist ein gemeinsames Vielfaches von 7 und 5.

Da n-1 durch 8 telibar sein soll, gilt:

  • n ist ungerade. Und n-3 ist dann natürlich gerade.

Das gemeinsame Vielfache von 7 und 5, die Zahl n-3, enthält also mindestens einmal den Primfaktor 2 (da n-3 gerade ist). Öfter als in zweiter Potenz (also zweimal) kann die 2 in n-3 aber nicht enthalten sein, sonst wäre n-3 durch 8 teilbar, was aber nicht geht, da ja n-1=(n-3)+2 schon durch 8 teilbar sein soll.

n-3 kann nicht den Primfaktor 3 enthalten, da sonst n+1 nicht durch 3 teilbar wäre.

So, und jetzt probieren wir einfach:

  • Kleinstmöglicher Wert für n-3 wäre 2·5·7=70, dann wäre n=70+3=73. Aber der Nachfolger von 73, die 74, ist nicht durch 3 teilbar-
  • Im nächsten Versuch: n-3 wäre 4·5·7=140, also wäre n=143. Hier ist der Nachfolger durch 3 teilbar, aber der Vorgänger nicht durch 8.
  • Dritter Versuch. Noch einen Faktor 2 können wir nicht hinzufügen. Versuchen wir daher n-3=2·5·5·7=350. Dann wäre n=353. Der Vorgänger dieser Zahl, die 352, ist durch 8 teilbar. Und der Nachfolger dieser Zahl, die 354, ist durch 3 teilbar. Und kleiner als 400 ist die 353 Zahl auch.

Im dritten Versuch haben wir n=353 gefunden. Diese Zahl erfüllt alle Bedingungen.

Und das ist auch die einzige mögliche Lösung (überlege dir selbst, warum).

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aber ich verstehe nicht wieso

a^5 / a^3 = a·a·a·a·a / (a·a·a) = a·a = a^2

Das ist aber dasselbe wie:

a^5 / a^3 = a^(5-3) = a^2

Man erkennt schon an diesem einen Beispiel die Regel:

a^m / a^n = a^(m-n)

Ich subtrahiere die Exponenten. Setze ich m=n, dann ergibt das:

a^n / a^n = a^(n-n) = a^0, andererseits ist natürlich a^n / a^n = 1, also weiß ich nun:

a^0 = 1

Jetzt kann ich folgendes machen:

1 / a^n = a^0 / a^n = a^(0-n) = a^-n

Nun weiß ich:
a^-n = 1 / a^n

4^-3 x 3^4

Nach obieger Regel ist 4^-3 = 1 / 4^3, also insgesamt:

4^-3 · 3^4 = 1/4^3 · 3^4 = 3^4 / 4^3

Der letzte Schritt ist ganz normale Bruchrechnung.

ich soll also auch die 3^4 als bruch schreiben

Ich glaub zwar nicht, dass du das sollst, aber 3^4 = 3^4 / 1. Einen Nenner 1 kannst du immer drunter schreiben. Oder, wenn es unbedingt mit negativen Exponenten sein soll:
3^4 = 1 / 3^-4
Viel Sinn macht diese Umformung aber nicht, wo doch 3^4 eine wunderschön ganze Zahl ist.

(3^4 = 1 / 3^-4 gilt eben wieder wegen a^-n=1/a^n. Setze n=-4:
3^4 = 3^-(-4) = 1 / 3^-4
oder so herum:
1 / 3^-4 = 1 / (1/3^4) = 3^4
oder so
1 / 3^-4 = 3^0 / 3^-4 = 3^(0-(-4)) = 3^(0+4) = 3^4.
Man kann auf verschiedene Weisen sehen, dass das stimmt.)

ich meine es ist falsch ,

Doch, das ist schon richtig. Ich vermute aber stark, dass die gewünschte Lösung 3^4 / 4^3 ist.

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Wie löst man Rechnungen, die weder die gleichen Basen, noch die gleichen Exponenten haben? Also: a (hoch) p * b (hoch) q.

Da kann man nichts vereinfachen.

Bsp.: 5 (hoch) 4 * 2 (hoch) 3
Gibt es eine Möglichkeit das zu lösen, ohne die einzelnen Potenzen vorher auszurechnen und dann zu multiplizieren?

Bei diesem speziellen Beispiel könnte man es so machen:

5^4 * 2^3 = 5 * 5^3 * 2^3 = 5 * (5*2)^3 = 5 * 10^3 = 5 * 1000 = 5000

Das bietet sich an, weil wir im Dezimalsystem rechnen und du 2 und 5 als Basis deiner Potenzen genommen hattest.
Dagegen, wenn du zB das hier hättest:
7^4 * 11^3
Da lässt sich nichts einfacher rechnen.

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Zum beispiel hier : 4 Wurzelzeichen 81

Gemeint ist sicher die vierte Wurzel aus 81. Nun, 81=9^2 und 9=3^2, also 81=9^2=(3^2)^2=3^4. Und die vierte Wurzel von 3^4 ist einfach 3.

Enstprechend zB die vierte Wurzel von 5^8 wäre 5^2, denn 8:4=2.

Versuche, die Zahl als Potenz zu schreiben und dividiere dann den Exponenten. Bei der dritten Wurzel durch 3, bei der vierten Wurzel durch 4 etc.

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Hallo, Ich habe grade die Gleichung 8=2^x+1

Gemeint ist doch wohl 8=2^(x+1) , also die 1 soll doch auch im Exponent steheh?

Natürlich kannst du logarithmieren, aber in diesem Fall geht es auch ohne, nämlich mit Exponentenvergleich. Es ist ja 8=2^3, also:

8 = 2^(x+1)

2^3 = 2^(x+1)

Nun haben wir dieselbe Basisi, also (Exponenenvergleich):

3 = x + 1

x = 2

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(3/4)^∞ = 0

(3/4)^∞ ist nicht 0, sondern nicht definiert, weil ∞ keine reelle Zahl ist und also nicht zum Definitionsbereich einer Exponentialfunktion gehört.

"(3/4)^∞" gibt es nur als Kurzschreibweise, dazu gleich mehr. Aber es wird nicht mit "∞ potenziert"!

Was bringt so viele Leute auf die Idee, mit ∞ rechnen zu wollen? ∞ ist ein Symbol, das anzeigt, dass eine gegebene Größe über jede Schranke wächst (ja, es wird manchmal auch in etwas anderer Bedeutung verwendet, aber das gehört nicht hierher).

∞ ist keine reelle Zahl. ∞ kann nicht im Exponent stehen, nicht im Zähler oder Nenner eines Bruches etc.

Aber: Das Symbol ∞ wird oft im Zusammenhang mit Grenzwerten verwendet. Und manchmal lässt man sogar das "lim" weg, und schreibt es so hin, als hätte man ∞ eingesetzt wie eine Zahl. Dann, wenn klar ist, wie es gemeint ist.

Dein (3/4)^∞ ist eine Kurzschreibweise für:

lim (x->∞) (3/4)^∞

"∞/n = ∞"

Auch das ist kein Quotient, sonder eine Kurzschreibweise für eine Aussage über Grezwerte. Es bedeutet:

"Aus x->∞ folgt x/n->∞."

Es heißt nicht, dass ∞ Zähler in einem Bruch sein kann.

n/∞ =0

Auch das ist eine Kurzschreibweise für einen Grenzwert. Es bedeutet:

"Falls n ungleich 0 ist, dann gilt lim (x->∞) = 0."

Es bedeutet nicht, dass man eine Zahl "durch ∞ dividieren" könnte.

Die Schreibweisen sollte man nur verwenden, wenn man Grenzwerte und "∞" verstanden hat! Die Schreibweise funktioniert eben deswegen, weil:

  • weil (3/4)^∞ keine Potenzausdruck sein kann, da ∞ nicht zum Definitionsbereich einer Exponentialfunktion gehört. Also weiß ich, da ist der Grenzwert gemeint.
  • weil ∞/n kein Quotient sein kann, da ∞ nicht Zähler eines Bruches sein kann. Also weiß ich, da ist der Grenzwert gemeint.
  • weil n/∞ kein Quotient sein kann, da ∞ nicht Nenner eines Bruches sein kann. Also weiß ich, da ist der Grenzwert gemeint.
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Das ist keine Gleichung.

Die quadratische Ergänzung wäre die Hälfte von 2/5 (genommen von 2/5d) und das zum Quadrat, also (1/5)², und das wäre halt 1/25.

Mach's dir an der binomischen Formel klar!

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p * 0 = 1 , ..., 2p * 0 = 2

Dann wäre

1 = p * 0 = p * (0 + 0) = p * 0 + p * 0 = 1 + 1 = 2

oder, man bekommt es auch so:

2 = 2p * 0 = 2 * p * 0 = p * 2 * 0 = p * (2 * 0) = p * 0 = 1

Ein Analogon zu gewöhnlichen (oder auch zu den komplexen) Zahlen erhält man so nicht.

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Einfachstes Beispiel: Eine Linie (eine Gerade) ist 1-dimensional. Aber sie ist nicht "die erste Dimension".

"Dimension" ist eine Maßzahl, die angibt, wieviele Koordinaten man mindestens braucht, um die Lage eines Punktes in einem Raum zu bestimmen. Eine Linie ist aber nicht die "erste Dimension" sondern ist eindimensional; eine Fläche ist nicht die "zweite Dimension" sondern ist zweidimensional etc.

Es gibt keine "erste Dimension", keine "zweite Dimension", keine "dritte Dimension" etc, sondern nur eindimensionale Räume, zweidimensionale Räume, dreidimensionale Räume etc.

Ansonsten: Lies mal hier: http://www.gutefrage.net/frage/mehr-als-3-dimensionen#answer35175199

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Ich habe die Klammern gelöst und stehe nun vor dieser Rechnung 1:3=

1/3
Der Bruch ist das korrekte Errgebnis.

Lass das mit den Kommazahlen, außer wenn es in der Aufgabe verlangt ist.

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-3/2x^3 soll abgeleitet werden ich habe umgeformt: -3*(2x)^-3

Das ist falsch umgeformt.

Wahscheinlich soll doch 2x^3 der Nenner sein. Dann sollte man das bei gf mit zusätzlichen Klammern schreiben, da man hier keine echten Bruchstriche hat:

-3/(2x^3)

Damit ist klar, was im Nenner stehen soll. Das "hoch 3" bezieht sich nur aufs x, nicht auf die 2. Du hast dann -3*(2x)^-3 daraus gemacht. Der negative Exponent ist zwar richtig, aber du darfst nicht plötzlich auch die 2 mitpotenzieren.

Richtig wäre: -3/(2x^3) = -3/2 * x^-3.
Da brauchst du auch keine Kettenregel, also keine innere Ableitung.

Ebefalls möglich wäre: -3/(2x^3) = -3 * (2x^3)^-1 = -3/2 * x^-3.

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Es ist keine binomische Formel.

Wenn du das hier:

(z-1)(z+2)=0

nach z auflösen sollst, dann solltest du die Klammern aber sowieso nicht ausmultiplizieren. Das steht nämlich schon so schön da, dass man die Lösungen direkt ablesen kann, ohne zu rechnen. Was da steht, ist ein Produkt aus den beiden Faktoren (z-1) und (z+2). Dieses Produkt soll gleich 0 sein. Ein Produkt ist aber dann und nur dann gleich 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Du brauchst also nur zu schauen, für welches z der Faktor (z-1) gleich 0 wird und für welches der Faktor (z+2). Das sind dann die beiden Lösungen der Gleichung.

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Wann benutzt man nun die Punkt- vor- Strich -Regel?

Immer. Und was in einer Klammer steht, wird natürlich noch vorher ausgerechnet.

Wenn es um solche Aufgaben geht dann gibt es unterschiedliche Meinungen.

:-(

Irgendwie wundert es mich nicht, wenn die Industrie über den Mangel an Fachkräften klagt.

40 + 40 *0 +1 vor sich liegen hat dann heißt das, dass die Lösung entweder 41 oder 81 ist...

40 + 40 *0 +1 = 40 + 0 + 1 = 41. Punkt vor Strich. Wo soll da ein Problem sein?

Wenn es aber (40 + 40) * 0 +1 hieße dann wäre aber das Ergebnis 81...

*sigh* natürlich nicht. Was in der Klammer steht, zuerst:

(40 + 40) * 0 +1 = 80*0 + 1 = 0 + 1 = 1

Außerdem steht da nunmal nicht (40 + 40) * 0 +1. Sondern es steht da 40 + 40 *0 +1 und das ergibt 41.


PS: Ich sehe immer wieder, wie richtig es war, dass ich mich damals nach kurzer Zeit meinen facebook-Account wieder gelöscht habe.

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Dann nimmt man die Ecken aus dem Quadrat raus sodass des Umfang 4 bleibt. Dies wiederholt man

Dadurch erhälst du eine Folge; eine Folge geometrischer Figuren.

Dies wiederholt man nun in die Unendlichkeit, Unendlich = Perfekter Kreis.

Richtig. Etwas präziser: Der Limes der Folge deiner geometrischen Figuren ist ein Kreis.

Aber der Umfang bleibt 4.

Ebenfalls richtig. Jede Figur aus dieser Folge hat immer den Umfang 4.

Nun die Frage:

Das ist ein Beispiel dafür, dass aus der Konvergenz einer Folge von Linienzügen gegen eine Grenzfigur nicht folgt, dass auch Folge der Längen dieser Linienzüge gegen die Länge (in diesem Fall: Umfang) der Grenzfigur konvergiert.

Die Längen der Linienzüge konvergieren nur dann gegen die Länge (bzw den Umfang) der Grenzfigur, wenn sich diese Linienzüge an die Grenzfigur "anschmiegen"; dh, wenn die Tangenten an die Linienzüge gegen die Tangenten der Grenzfigur streben. Das ist bei deiner Konstruktion nicht so, und darum bekommst du 4 statt π.

Betrachte dagegen die Konstruktion des Archimedes mit den Vielecken. Man sieht sehr deutlich das "anschmiegen". Die Kanten -- deren Verlängerungen eben die Tangenten des Vielecks sind-- sind immer parallel zur entsprechenden Kreistangente, und streben mit wachsender Eckenzahl auf die Kreistangenten zu. Das ist bei deiner Konstruktion nicht so.

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Die Umrechnung für reinperiodische Dezimalzahlen geht so: Man nehme die Periode als ganze Zahl, schreibe die in den Zähler; in den Nenner schreibe man eine Zahl, bestehend aus sovielen Neunern, wie die Periode lang ist (dann noch kürzen, falls möglich). Beispiel:

0.060606060606060606.... also0,(periode)06, das ergibt als Bruch 6/99 = 2/33.


Etwas aufwendiger ist es mit gemischt-periodischen Dezimalzahlen. Das entspricht dann deiner Aufgabe. Beispiel:

0,2555555... (bzw 0,2(periode)5)

Diese Zahl hat eine Vorperiode, die 2 (bei deiner Aufgabe wäre "54" die Vorperiode). Dafür gibt es eine Formel (http://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalsystem#Formel), aber die Formel muss man sich nicht merken, es geht auch so:

0.2(periode)5 =

2.(periode)5 / 10 =

2/10 + 0.(periode)5 / 10 =

2/10 + (5/9)/10 =

2/10 + 5/90 =

18/90 + 5/90 =

23/90

Etwas umständlich vielleicht, aber nicht wirklich schwierig, wenn man Bruchrechnung kann.

Deine Aufgabe geht entsprechend auch so.

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Erstmal kürzen. Schau dir nochmal die Potenzgesetze an!

b^28/b^21 + b^21/b^14 = | kürzen
b^7 + b^7 =
2b^7

Dein Ergebnis ist 2b^7.

Zum Kürzen verwendest du hier das Gesetz: a^m / a^n = a^(m-n).

Also beim ersten Bruch: b^28/b^21 = b^(28-21) = b^7. Beim zweiten genauso.

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1/5 (x^5 - 19/3x^3 - 4x) = 0 | ·5

x^5 - 19/3x^3 - 4x = 0 | ausklammern

x(x^4 - 19/3x^2 - 4) = 0

  • Ersten Faktor 0 setzen:

x = 0 da haben wir schon eine Lösung.

  • Zweiten Faktor 0 setzen:

x^4 - 19/3x^2 - 4 = 0

Substitution u=x², dann wird daraus:

u^2 - 19/3u - 4 = 0

Quadratische Gleichung nach u auflösen, dann Rücksubstitution.

(Man muss hier keine Nullstellen raten und braucht auch keine Polynomdivision!)

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x^4 = 4

x = +-vierteWurzel(4) = +-Wurzel(2)

Lösungsmenge: {-Wurzel(2); Wurzel(2)}

Vierte Wurzel von 4 ist richtig, es gibt aber zwei Lösungen (eine mit positivem und eine mit negativem Vorzeichen), und die vierte Wurzel von 4 lässt sich zur Quadratwurzel von 2 vereinfachen.

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Auf die gleiche Basis bringen. Das geht natürlich nicht immer, aber in diesem Fall geht es, weil 2^2 = 4. Also dein zweiter Faktor ist :

4^(2/3) = (2^2)^(2/3) = 2^(2 * 2/3) = 2^(4/3)

Insgesamt also:

2^(1/3) * 4^(2/3) = 2^(1/3) * 2^(4/3) = 2^(1/3 + 4/3) = 2^(5/3)

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Wenn man Potenzen mit gleicher Basis dividiert, sieht man leicht:

Beispiel: a^5 / a^2 = (a·a·a·a·a) / (a·a) = a·a·a = a^3. Das ist aber dasselbe wie a^(5-2).

Allgemein: a^m / a^n = a^(m-n)

Setze nun m=n:

a^n /a^n = a^(n-n) = a^0
Andererseits ist natürlich a^n / a^n = 1, also a^0 = 1

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Faktoren einzeln 0 setzen n(->Satz vom Nullprodukt).

  • x^4- 8x^2+16 = 0 hier Substitution z=x^2 verwenden.
  • x^2-5x = 0 hier x ausklammern und erneut die Faktoren einzeln 0 setzen.
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Das sollte doch wohl heißen:

22*3^(x-3) = 9*5^(3+x)

gf hat wohl wieder die Sternchen verschluckt.

Es gibt mehrer Lösungswege, zB so

22*3^(x-3) = 9*5^(3+x) | log

log(22*3^(x-3)) = log(9*5^(3+x)) | Logarithmengesetz

log(22) + log(3^(x-3)) = log(9) + log(5^(3+x)) | Logarithmengesetz

log(22) + (x-3)·log(3) = log(9) + (3+x)·log(5)

Der Rest sollte kein Problem mehr sein.

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