Können Unendlichkeiten unterschiedlich groß sein?
Zwischen der Zahl 0 und 1 gibt es unendlich viele Zahlen (z.B. 0,1; 0,2; 0,15; 0,01 etc.). Wenn ich mir jetzt aber die Zahlen zwischen 0 und 2 angucke, sind ja dann doppelt so viele unendliche Zahlen vorhanden, denn jetzt werden ja auch die Zahlen von 1 bis 2 mitgezählt (z.B. 1,1; 1,11 etc.).
Stimmt also meine Vermutung, dass es unterschiedlich große Unendlichkeiten gibt?
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9 Antworten
Grundsätzlich gibt es verschiedene Unendlichkeiten. Aber Dein Beispiel ist nicht valide, denn im Intervall [0,1] gibt es gleich viele Zahlen wie im Intervall [0,2]. Das siehst Du sofort, wenn Du an die Funktion f(x)=2x denkst — die ist ja bijektiv und ordnet jeder Zahl in [0,1] eine Zahl in [0,2] zu, ohne das etwas übrig bleibt. Daher müssen die Mächtigkeiten der beiden Intervalle gleich groß sein.
Analog kann man auch zeigen, daß es gleich viele gerade Zahlen wie natürliche gibt, und gleich viele ganze wie natürliche. Mit etwas mehr Mühe findet man auch ein Argument, daß sogar die rationalen Zahlen nicht mächtiger sind als die natürlichen. Die Mächtigkeiten dieser Mengen haben sogar ein Symbol, nämlich א₀ („alef-null“).
Aus jedem אₙ bekommt man eine noch größere Unendlichkeit אₙ₊₁, indem man die Potenzmenge bildet. Die Potenzmenge der natürlichen Zahlen (also die Menge aller ungeordneter Tupel von beliebig vielen, potentiell unendlich vielen, natürlichen Zahlen) hat also die Mächtigkeit א₁ und das ist auch die Mächtigkeit der reellen Zahlen. Daß die reellen Zahlen mächtiger sind als die natürlichen, kann man einfach durch Cantors Diagonalargument zeigen.
Das verstehe ich nicht. Das Diagonalargument zeigt ja, daß es mehr reelle als natürliche Zahlen gibt, also א₀ < א₁
Die nächste Frage ist natürlich, ob es noch eine Zahl zwischen den beiden Alephs gibt (also ob eine Menge größer als die natürlichen aber kleiner als die reellen Zahlen sein kann). Das ist mit den Standardaxiomen unentscheidbar, ändert aber nichts daran, daß א₀ < א₁ (zumindest soweit ich das verstehe).
Dass die reellen Zahlen mächtiger sind als die natürlichen stimmt in jedem Fall. Die Kontinuumshypothese behandelt nur die Frage, ob zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen noch eine dritte Mächtigkeit existiert.
ich meine nur du hast geschrieben, dass die Potenzmenge der natürlichen Zahlen gleichmächtig zu den reellen Zahlen ist, was so nicht entscheidbar ist, die reellen Zahlen könnten noch mächtiger sein
er meinte aber die reellen Zahlen seien gleichmächtig zu der Potenzmenge der natürlichen Zahlen
Aber auch das lässt sich beweisen und ist nicht Gegenstand der Kontinuumshypothese.
oh warte da muss ich dir Recht geben, jedoch kann es sich dann doch nicht beweisen lassen, dass die Potenzmenge der natürlichen Zahlen die Mächtigkeit Aleph 1 hat, zumindest entspricht das nicht der Definition der Aleph Funktion. Aleph n+1 ist ja einfach nur die kleinste Mächtigkeit größer als Aleph n. Keine Menge X existiert, sodass Aleph 0 < |X| < Aleph 1
Stimmt, mir war die Definition der Aleph-Zahlen gar nicht mehr so genau geläufig.
Dass |P(N)| = Aleph1 ist, ist in der Tat exakt die Kontinuumshypothese.
Es gibt tatsächlich unterschiedlich große Unendlichkeiten.
Beispielsweise sind die Natürlichen Zahlen Abzählbar Unendlich, da du jede natürliche Zahl einer anderen Natürlichen Zahl zuordnen und somit abzählen kannst.
Des Weiteren gibt es Überabzählbar Unendliche Mengen (wie dein genanntes Beispiel). Hierbei ist es nicht mehr möglich, jeder reellen Zahl eine Natürliche Zahl zuzuordnen. Die reellen Zahlen sind somit mächtiger als die Natürlichen Zahlen.
(Siehe Cantorsches Diagonalverfahren zum Beweis).
Jedoch gelten für die beiden reellen Mengen der Zahlen zwischen 0 und 2 und der Zahlen zwischen 0 und 1, dass beide Mengen Überabzählbar Unendlich sind. Die beiden Mengen sind somit gleich mächtig.
Gerne, hier ist noch ein kurzes Video, welches darauf genauer eigeht: https://www.youtube.com/watch?v=FRJJ5z194HY
es ist so, dass es zwischen 0 und 1 genauso viele Zahlen gibt wie zwischen 0 und 2, wenn wir bei beidem in den reellen bzw. den rationalen Zahlen bleiben. Es gibt aber zwischen 0 und 1 (oder 0 und 2, allgemeiner zwischen zwei zahlen a und b) Mehr reelle als rationale zahlen.
Es gibt z.B. genauso viele gebrochene Zahlen wie natürliche Zahlen. Aber es gibt mehr reelle Zahlen als rationale Zahlen.
In allen diesen Fällen sind es unendlich viele.
Die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen. Beide Mengen sind unendlich groß, aber die Menge der reellen Zahlen ist natürlich noch viel größer (mächtiger) als die Menge der natürlichen Zahlen.
An dem Argument ist etwas faul. Denn die natürlichen Zahlen sind auch eine echteTeilmenge der rationalen Zahlen, und trotzdem sind beide Mengen gleich groß.
Nö, sind sie nicht. Es gibt unendlich mehr Brüche als natürliche Zahlen, daher ist die Menge der rationalen Zahlen mächtiger.
Das sollte sich schon alleine daraus ergeben, dass Ganzzahlen wie die natürlichen Zahlen auch rationale Zahlen sind, es aber doch im Grunde doppelt so viele Ganzzahlen als natürliche Zahlen gibt.
Zwar gibt es immer noch einige die behaupten, dass unendlich gleich groß ist, aber das stimmt eben nicht und wurde auch bereits mathematisch nachgewiesen.
Schreib jede rationale Zahl als gekürzten Bruch, und falls sich die Anzahl der Stellen in Zähler und Nenner unterscheiden, dann füll mit Nullen auf: 0.35=07⁄20 und 2.9166666…=35⁄12 und 181.66666…=544⁄003 etc. Jede rationale Zahl läßt sich eindeutig so darstellen.
Nun bau aus jeder rationalen Zahl eine natürliche, indem Du abwechselnd Ziffern vom Zähler und Nenner aneinanderfügst: Aus den drei Beispielen im vorigen Absatz wird dadurch 270, 3152 und 504043. Da jeder Bruch (=jede rationale Zahl) eine andere natürlich Zahl liefert, kann ℕ nicht kleiner als ℚ sein.
eine andere natürlich Zahl liefert, kann ℕ nicht kleiner als ℚ sein.
Das ist lediglich ein Beweis dafür, dass N und Q unendlich sind. Nichts weiter...
Natürlich ist mir klar, dass Physiker bzw. Mathematiker das anders sehen, weil es, wenn man es wie Cantor macht, nie mehr Z oder gar Q als N geben kann, schlicht und ergreifend, weil man nie "das Ende" von N erreichen wird.
In der Logik sieht das aber bereits anders aus. Da brauchen wir nicht den Beweis erbringen, wenn sich alle anderen Möglichkeiten ausschließen. Und da wird dir jedes Kleinkind erklären können, dass es so sein muss, weil alles andere unlogisch wäre.
N hat keine Grenze nach oben, sehr wohl aber nach unten. Z hat weder eine Grenze nach oben, noch nach unten. Wenn beide Mengen unendlich sind, muss Z zwangsläufig mächtiger sein...!
ABER: Wenn wir uns schon auf das Hochschulwissen verlassen wollen - es war ebenfalls Cantor der feststellte, dass es bei den natürlichen und reellen Zahlen dann eben nicht mehr funktioniert und die reellen Zahlen viel mächtiger sein müssen.
Nichts anderes habe ich mit meiner Antwort beschrieben.
das mit der Mächtigkeit der reellen Zahlen muss nicht unbedingt stimmen, siehe Kontinuumshypothese